积分梯度：一种新颖的神经网络可视化方法

本文介绍一种神经网络的可视化方法：积分梯度（Integrated Gradients），它首先在论文《Gradients of Counterfactuals》中提出，后来《Axiomatic Attribution for Deep Networks》再次介绍了它，两篇论文作者都是一样的，内容也大体上相同，后一篇相对来说更易懂一些，如果要读原论文的话，建议大家优先读后一篇。当然，它已经是2016～2017年间的工作了，“新颖”说的是它思路上的创新有趣，而不是指最近发表。

所谓可视化，简单来说就是对于给定的输入$x$以及模型$F(x)$，我们想办法指出$x$的哪些分量对模型的决策有重要影响，或者说对$x$各个分量的重要性做个排序，用专业的话术来说那就是“归因”。一个朴素的思路是直接使用梯度$\nabla_x F(x)$来作为$x$各个分量的重要性指标，而积分梯度是对它的改进。然而，笔者认为，很多介绍积分梯度方法的文章（包括原论文），都过于“生硬”（形式化），没有很好地突出积分梯度能比朴素梯度更有效的本质原因。本文试图用自己的思路介绍一下积分梯度方法。

朴素梯度 #

首先，我们来学习一下基于梯度的方法，其实它就是基于泰勒展开：

$$\begin{equation}F(x+\Delta x) - F(x) \approx \langle\nabla_x F(x), \Delta x\rangle=\sum_i [\nabla_x F(x)]_i \Delta x_i\label{eq:g}\end{equation}$$
我们知道$\nabla_x F(x)$是大小跟$x$一样的向量，这里$[\nabla_x F(x)]_i$为它的第$i$个分量，那么对于同样大小的$\Delta x_i$，$[\nabla_x F(x)]_i$的绝对值越大，那么$F(x+\Delta x)$相对于$F(x)$的变化就越大，也就是说：

$[\nabla_x F(x)]_i$衡量了模型对输入的第$i$个分量的敏感程度，所以我们用$|[\nabla_x F(x)]_i|$作为第$i$个分量的重要性指标。

这种思路比较简单直接，在论文《How to Explain Individual Classification Decisions》和《Deep Inside Convolutional Networks: Visualising Image Classification Models and Saliency Maps》都有描述，在很多时候它确实也可以成功解释一些预测结果，但它也有明显的缺点。很多文章提到了饱和区的情况，也就是一旦进入到了饱和区（典型的就是$\text{relu}$的负半轴），梯度就为0了，那就揭示不出什么有效信息了。

从实践角度看，这种理解是合理的，但是笔者认为还不够深刻。从之前的文章《对抗训练浅谈：意义、方法和思考（附Keras实现）》可以看出，对抗训练的目标可以理解为就是在推动着$\Vert\nabla_x F(x)\Vert^2 \to 0$，这也就可以理解为，梯度是可以被“操控”的，哪怕不影响模型的预测准确率的情况下，我们都可以让梯度尽可能接近于0。所以，回到本文的主题，那就是：$[\nabla_x F(x)]_i$确实衡量了模型对输入的第$i$个分量的敏感程度，但敏感程度不足以作为重要性的良好度量。

积分梯度 #

鉴于直接使用梯度的上述缺点，一些新的改进相继被提出来，如LRP、DeepLift等，不过相对而言，笔者还是觉得积分梯度的改进更为简洁漂亮。

参照背景 #

首先，我们需要换个角度来理解原始问题：我们的目的是找出比较重要的分量，但是这个重要性不应该是绝对的，而应该是相对的。比如，我们要找出近来比较热门的流行词，我们就不能单根据词频来找，不然找出来肯定是“的”、“了”之类的停用词，我们应当准备一个平衡语料统计出来的“参照”词频表，然后对比词频差异而不是绝对值。这就告诉我们，为了衡量$x$各个分量的重要性，我们也需要有一个“参照背景”$\bar{x}$。

当然，很多场景下我们可以简单地让$\bar{x}=0$，但这未必是最优的，比如我们还可以选择$\bar{x}$为所有训练样本的均值。我们期望$F(\bar{x})$应当给一个比较平凡的预测结果，比如分类模型的话，$\bar{x}$的预测结果应该是每个类的概率都很均衡。于是我们去考虑$F(\bar{x})-F(x)$，我们可以想象为这是从$x$移动到$\bar{x}$的成本。

如果还是用近似展开$\eqref{eq:g}$，那么我们将得到

$$\begin{equation}F(\bar{x})-F(x) \approx \sum_i [\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i\label{eq:g2}\end{equation}$$
对于上式，我们就可以有一种新的理解：

从$x$移动到$\bar{x}$的总成本为$F(\bar{x})-F(x)$，它是每个分量的成本之和，而每个分量的成本近似为$[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i$，所以我们可以用$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$作为第$i$个分量的重要性指标。

当然，不管是$[\nabla_x F(x)]_i$还是$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$，它们的缺陷在数学上都是一样的（梯度消失），但是对应的解释却并不一样。前面说了，$[\nabla_x F(x)]_i$的缺陷源于“敏感程度不足以作为重要性的良好度量”，而纵观这一小节的推理过程，$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$的缺陷则只是因为“等式$\eqref{eq:g2}$仅仅是近似成立的”，但整个逻辑推理是没毛病的。

积分恒等 #

很多时候一种新的解释能带给我们新的视角，继而启发我们做出新的改进。比如前面对缺陷的分析，说白了就是说“$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$不够好是因为式$\eqref{eq:g2}$不够精确”，那如果我们直接能找到一个精确相等的类似表达式，那么就可以解决这个问题了。积分梯度正是找到了这样的一个表达式：设$\gamma(\alpha),\alpha\in[0,1]$代表连接$x$和$\bar{x}$的一条参数曲线，其中$\gamma(0)=x, \gamma(1)=\bar{x}$，那么我们有

$$\begin{equation}\begin{aligned} F(\bar{x})-F(x) =&\, F(\gamma(1))-F(\gamma(0))\\ =& \int_0^1 \frac{dF(\gamma(\alpha))}{d\alpha}d\alpha\\ =& \int_0^1 \left\langle\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha)), \gamma'(\alpha)\right\rangle d\alpha\\ =& \sum_i \int_0^1 \left[\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\right]_i \left[\gamma'(\alpha)\right]_i d\alpha \end{aligned}\label{eq:g3}\end{equation}$$
可以看到，式$\eqref{eq:g3}$具有跟$\eqref{eq:g2}$一样的形式，只不过将$[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i$换成了$\int_0^1 \left[\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\right]_i \left[\gamma'(\alpha)\right]_i d\alpha$。但式$\eqref{eq:g3}$是精确的积分恒等式，所以积分梯度就提出使用
$$\begin{equation}\left|\int_0^1 \left[\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\right]_i \left[\gamma'(\alpha)\right]_i d\alpha\right|\label{eq:ig-1}\end{equation}$$
作为第$i$个分量的重要性度量。作为最简单的方案，自然就是将$\gamma(\alpha)$取为两点间的直线，即
$$\begin{equation}\gamma(\alpha) = (1 - \alpha) x + \alpha \bar{x}\end{equation}$$
这时候积分梯度具体化为
$$\begin{equation}\left|\left[\int_0^1 \nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\big|_{\gamma(\alpha) = (1 - \alpha) x + \alpha \bar{x}}d\alpha\right]_i \left[\bar{x}-x\right]_i\right|\label{eq:ig-2}\end{equation}$$
所以相比$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$的话，就是用梯度的积分$\int_0^1 \nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\big|_{\gamma(\alpha) = (1 - \alpha) x + \alpha \bar{x}}d\alpha$替换$\nabla_x F(x)$，也就是从$x$到$\bar{x}$的直线上每一点的梯度的平均结果。直观来看，由于考虑了整条路径上的所有点的梯度，因此就不再受某一点梯度为0的限制了。

如果读者看了积分梯度的两篇原始论文，就会发现原论文的介绍是反过来的：先莫名其妙地给出式$\eqref{eq:ig-2}$，然后再证明它满足两点莫名其妙的性质（敏感性和不变性），接着证明它满足式$\eqref{eq:g3}$。总之就是带着读者做了一大圈，就是没说清楚它是一个更好的重要性度量的本质原因——大家都是基于对$F(\bar{x})-F(x)$的分解，而式$\eqref{eq:g3}$比式$\eqref{eq:g2}$更为精确。

离散近似 #

最后就是这个积分形式的量怎么算呢？深度学习框架没有算积分的功能呀。其实也简单，根据积分的“近似-取极限”定义，我们直接用离散近似就好，以式$\eqref{eq:ig-2}$为例，它近似于：

$$\begin{equation}\left|\left[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\Big(\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\big|_{\gamma(\alpha) = (1 - \alpha) x + \alpha \bar{x}, \alpha=k/n}\Big)\right]_i \left[\bar{x}-x\right]_i\right|\end{equation}$$
所以还是那句话，本质上就是“从$x$到$\bar{x}$的直线上每一点的梯度的平均”，比单点处的梯度效果更好。

实验效果 #

看完了理论，我们再来看看实验效果。

原始效果 #

原始论文实现：https://github.com/ankurtaly/Integrated-Gradients

下面是原论文的一些效果图：

个人实现 #

虽然Keras官网已经给出了参考实现了（请看这里），但代码实在是太长，看着太累，笔者根据自己的理解也用Keras实现了一个，并应用到了NLP中，具体代码见“task_sentiment_integrated_gradients.py”。目前的代码仅仅是简单的demo，欢迎读者在此基础上派生出更强大的代码。

上图中笔者给出了几个样本的效果（模型对上述样本的情感标签预测都是正确的），由此我们可以推测原模型进行情感分类的原理。从上图我们可以看到，对于负样本，积分梯度可以比较合理地定位到句子中的负面词语，而对于正样本，哪怕它的语法格式跟负样本一样，却无法定位到句子中的正面词语。这个现象表明，原模型做情感分类的思路可能是“负面检测”，也就是说主要做负面情绪检测，而检测不到负面情绪则视为正样本，这大概是因为没有“中性”样本训练所带来的结果。

又到文末 #

本文介绍了一种称为“积分梯度”的神经网络可视化方法，利用它可以一定程度上更好描述输入的各个分量的重要程度。积分梯度通过沿着路径对梯度进行积分来构建了精确的等式，弥补了泰勒展开的不足，从而达到了比直接使用梯度更好的可视化效果。

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