20 Jul

“未解之谜”:为何不讲中点矩形法则?

前言

在之前的一些文章中,我们已经指出过现行教材的一些毛病。比如主次不当(最明显的是那些一上来就讲线性方程组的线性代数教程)、缺乏直观性、缺少引导性等,我想其中最主要的原因可能是过于随大流了,别人怎么编我们也跟着怎么编,缺乏自己的观点和逻辑,因此导致一些常见的毛病就一直流传了下来。也许正因如此,就导致了有那么一种奇怪的现象——明明有一种计算量少的、精确度高一些的方法,教科书几乎从未提及;另外一种计算量稍大、精确度稍低的方法,但每一本同类教科书都讲述了它。不能不说这是一个“未解之谜”......

本文要讲的就是这样的两种方法,它们分别是用来求定积分近似值的“中点矩形法则”和“梯形法则”。对于后者我想绝大多数学习过微积分的朋友都会有印象,它就是那个几乎出现在了所有微积分教材的方法;而前者我相信不少读者都未曾听闻,但让人意外的是,它的计算量稍低,精确度却稍高。本文就简单介绍这两种方法,并且比较它们的精度。而本文的独特之处在于,证明过程沿用了《复分析:可视化方法》的思路,使用几何方法漂亮地估计误差!

我们的目标是在难以精确计算的情况下,通过一定的方法求出$\int_a^b f(x)dx$的近似值,这些方法基本上都是利用了积分即面积的思想。

两种不同的方法

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26 Dec

《自然极值》系列——8.极值分析

《非线性泛函分析及其应用,第3卷,变分法及最优化》

《非线性泛函分析及其应用,第3卷,变分法及最优化》

本篇文章是《自然极值》系列最后一篇文章,估计也是2010年最后一篇文章了。在这个美好的2010年,想必大家一定收获匪浅,BoJone也在2010年成长了很多。在2010年的尾声,BoJone和科学空间都祝大家在新的一年里更加开心快乐,在科学的道路上更快速地前行。

在本文,BoJone将与大家讨论求极值的最基本原理。这一探讨思路受到了天才的费恩曼所著《费恩曼物理讲义》的启迪。我们分别对函数求极值(求导)和泛函数极值(变分)进行一些简略的分析。

一、函数求极值

对于一个函数$y=f(x)$,设想它在$x=x_0$处取到最大值,那么显然对于很小的增量$\Delta x$,有
$$f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)\tag{3}$$根据泰勒级数,我们有
$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$————(4)

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