《向量》系列——1.向心力公式证明
By 苏剑林 | 2010-07-15 | 56747位读者 |向量在几何和物理中都有极其重要的作用,现在就让我们来看如何用向量研究物理中的圆周运动。
首先我们必须了解一些基础:
1.在向量中,只要一条“向径”($\vec{r}$)就可以描述出物体的运动,而不需要建立坐标系。这就是向量应用于物理的原因:物理定律不应该依赖于坐标系,而向量恰恰也不依赖于坐标系!
2.牛顿第二定律:$\vec{F}=m\vec{a}$
3.以及一些向量的微积分运算等(可以查阅维基百科或者相关资料)
在下面及以后的文章描述中,为了大家的阅读方便,把向量写成$\vec{r}$的形式,而非把字母加粗。一般情况下,在本站的描述中,有$|\vec{r}|=r,|\dot{\vec{r}}|=v,|\ddot{\vec{r}}|=a$。但是,$\dot{r}=\frac{d|\vec{r}|}{dt} != |\dot{\vec{r}}|$
上图是一个简单的圆周运动示意图,其中我们得到:
$$\begin{aligned}\vec{F}=m\vec{a} \\ \vec{a}=\ddot{\vec{r}} \\ \vec{v}=\dot{\vec{r}}\end{aligned}$$
其中$\vec{F}$是合外力,由于速度方向总是与向径方向垂直,我们就有
$$\vec{r}\cdot \dot{\vec{r}}=0\tag{1}$$并且
$$\frac{d}{dt}(\vec{r}\cdot \dot{\vec{r}})=\dot{\vec{r}}^2+\vec{r}\cdot \ddot{\vec{r}}=0$$
得出
$$\begin{aligned}m\dot{\vec{r}}^2+\vec{r}\cdot m\ddot{\vec{r}}=0 \\ mv^2+\vec{r}\cdot \vec{F}=0\end{aligned}\tag{2}$$
其中$\vec{F}$是合外力(请记住,向心力由合外力提供,是合外力的一个分力,不能说物体受到向心力的作用),(1)和(2)结合起来,就是描述圆周运动的基本方程。
如果该运动为匀速圆周运动,v恒定,则应该有$\dot{\vec{r}}^2=const$,即
$$\frac{d}{dt}(\dot{\vec{r}}^2)=2\dot{\vec{r}}\cdot \ddot{\vec{r}}=0$$
即$$\dot{\vec{r}}\cdot \vec{F}=0\tag{3}$$
即合外力方向与速度方向垂直,结合(2),有
$$\begin{aligned}\vec{F}=-m(\frac{\dot{\vec{r}}^2}{r^2})\vec{r}=-m\omega^2 \vec{r} \\ F=\frac{mv^2}{r}\end{aligned}$$
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July 19th, 2010
用r表示来表示去很烦
加上v和a看起来会舒服点
的确用v和a表示相对于用r的导数表示来说是直观一点,但是这样不便于在解题过程中的思考。为了方便思考,通过在过程中都不会这样写,只有得出结果后,才会把结果赋予一定的物理意义。
July 26th, 2010
$\ddot{\vec{F}}=m\vec{a}$
$\vec{v}=\dot{\vec{a}}$
$\vec{F}=-m\frac{\dot{\vec{r}}^2}{\vec{r}^2}$
这三个公式我不太理解,只好烦请站长大人解释一下。
抱歉,第三个公式打错了……修改一下:
$\vec{F}=-m\frac{\dot{\vec{r}}^2}{\vec{r}^2}\vec{r}$
这两个公式是我的笔误,已经修正,感谢反馈。
第一个公式是牛顿第二定律。第二个公式则是定义。
$\vec{F}=-m\frac{\dot{\vec{r}}^2}{\vec{r}^2}\vec{r}=-\frac{mv^2}{r^2}\vec{r}$,这是向心力公式的一种表达方式。本来是$F=\frac{mv^2}{r}$的,但是为了表示出力的方向,所以乘以因子:$-\frac{\vec{r}}{r}$,这样既不改变力的大小,又标明了方向。这表示力与向径共线且反向。
我明白了,原来是先通过(2)式得出F=mv^2/r,再乘以一个负的单位向量表示方向与向径相反。
单纯的(2)式还不能得出结果,必须结合(2)和(3),才能够得到F的表达式。