向量在几何和物理中都有极其重要的作用,现在就让我们来看如何用向量研究物理中的圆周运动。

首先我们必须了解一些基础:

1.在向量中,只要一条“向径”($\vec{r}$)就可以描述出物体的运动,而不需要建立坐标系。这就是向量应用于物理的原因:物理定律不应该依赖于坐标系,而向量恰恰也不依赖于坐标系!
2.牛顿第二定律:$\vec{F}=m\vec{a}$
3.以及一些向量的微积分运算等(可以查阅维基百科或者相关资料)

在下面及以后的文章描述中,为了大家的阅读方便,把向量写成$\vec{r}$的形式,而非把字母加粗。一般情况下,在本站的描述中,有$|\vec{r}|=r,|\dot{\vec{r}}|=v,|\ddot{\vec{r}}|=a$。但是,$\dot{r}=\frac{d|\vec{r}|}{dt} != |\dot{\vec{r}}|$

圆周运动示意图

圆周运动示意图

上图是一个简单的圆周运动示意图,其中我们得到:
$$\begin{aligned}\vec{F}=m\vec{a} \\ \vec{a}=\ddot{\vec{r}} \\ \vec{v}=\dot{\vec{r}}\end{aligned}$$

其中$\vec{F}$是合外力,由于速度方向总是与向径方向垂直,我们就有
$$\vec{r}\cdot \dot{\vec{r}}=0\tag{1}$$并且
$$\frac{d}{dt}(\vec{r}\cdot \dot{\vec{r}})=\dot{\vec{r}}^2+\vec{r}\cdot \ddot{\vec{r}}=0$$
得出
$$\begin{aligned}m\dot{\vec{r}}^2+\vec{r}\cdot m\ddot{\vec{r}}=0 \\ mv^2+\vec{r}\cdot \vec{F}=0\end{aligned}\tag{2}$$
其中$\vec{F}$是合外力(请记住,向心力由合外力提供,是合外力的一个分力,不能说物体受到向心力的作用),(1)和(2)结合起来,就是描述圆周运动的基本方程

如果该运动为匀速圆周运动,v恒定,则应该有$\dot{\vec{r}}^2=const$,即
$$\frac{d}{dt}(\dot{\vec{r}}^2)=2\dot{\vec{r}}\cdot \ddot{\vec{r}}=0$$
即$$\dot{\vec{r}}\cdot \vec{F}=0\tag{3}$$
即合外力方向与速度方向垂直,结合(2),有
$$\begin{aligned}\vec{F}=-m(\frac{\dot{\vec{r}}^2}{r^2})\vec{r}=-m\omega^2 \vec{r} \\ F=\frac{mv^2}{r}\end{aligned}$$

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