对齐全量微调!这是我看过最精彩的LoRA改进(一)
By 苏剑林 | 2024-07-12 | 27146位读者 |众所周知,LoRA是一种常见的参数高效的微调方法,我们在《梯度视角下的LoRA:简介、分析、猜测及推广》做过简单介绍。LoRA利用低秩分解来降低微调参数量,节省微调显存,同时训练好的权重可以合并到原始权重上,推理架构不需要作出改变,是一种训练和推理都比较友好的微调方案。此外,我们在《配置不同的学习率,LoRA还能再涨一点?》还讨论过LoRA的不对称性,指出给$A,B$设置不同的学习率能取得更好的效果,该结论被称为“LoRA+”。
为了进一步提升效果,研究人员还提出了不少其他LoRA变体,如AdaLoRA、rsLoRA、DoRA、PiSSA等,这些改动都有一定道理,但没有特别让人深刻的地方觉。然而,前两天的《LoRA-GA: Low-Rank Adaptation with Gradient Approximation》,却让笔者眼前一亮,仅扫了摘要就有种必然有效的感觉,仔细阅读后更觉得它是至今最精彩的LoRA改进。
究竟怎么个精彩法?LoRA-GA的实际含金量如何?我们一起来学习一下。
基础回顾 #
首先我们再来温习一下LoRA。假设预训练参数为$W_0 \in \mathbb{R}^{n\times m}$,那么全量微调时的更新量自然也是一个$n\times m$矩阵,LoRA将更新量约束为低秩矩阵来降低训练时的参数量,即设$W=W_0 + AB$,其中$A\in\mathbb{R}^{n\times r},B\in\mathbb{R}^{r\times m}$以及$r\ll \min(n,m)$,用新的$W$替换模型原参数,并固定$W_0$不变,只训练$A,B$,如下图所示:
$$\style{display: inline-block; width: 24ex; padding: 10ex 0; border: 1px solid #6C8EBF; background-color: #DAE8FC}{W_0\in\mathbb{R}^{n\times m}} \quad + \quad \style{display: inline-block; width: 8ex; padding: 10ex 0; border: 1px solid #D79B00; background-color: #FFE6CC}{A\in\mathbb{R}^{n\times r}}\quad\times\quad \style{display: inline-block; width: 24ex; padding: 3ex 0; border: 1px solid #D79B00; background-color: #FFE6CC}{B\in\mathbb{R}^{r\times m}}$$
为了使得LoRA的初始状态跟预训练模型一致,我们通常会将$A,B$之一全零初始化,这样可以得到$A_0 B_0=0$,那么初始的$W$就是$W_0$。但这并不是必须的,如果$A,B$都是非全零初始化,那么我们只需要将$W$设置为
\begin{equation}W = (W_0 - A_0 B_0) + AB\end{equation}
也就是说将固定不变的权重从$W_0$换为$W_0 - A_0 B_0$,同样可以满足初始$W$等于$W_0$这一条件。
需要指出的是,LoRA往往只是显存不足的无奈之选,因为一般情况下全量微调的效果都会优于LoRA,所以如果算力足够并且要追求效果最佳时,请优先选择全量微调。这也是LoRA-GA的假设之一,因为它的改进方向就是向全量微调对齐。使用LoRA的另一个场景是有大量的微型定制化需求,我们要存下非常多的微调结果,此时使用LoRA能减少储存成本。
对齐全量 #
LoRA-GA提出了一个非常深刻的优化点:通过$W=(W_0 - A_0 B_0) + AB$我们可以保证$W$的初始值等于$W_0$,即初始状态的LoRA与全量微调是等价的,那么我们是否还可以调整$A_0$和$B_0$,使得LoRA和全量微调在后续训练中也尽可能近似?比如最简单地,让经过第一步优化后的$W_1$尽可能相等?
越仔细回味,我们会越发现这个优化点是如此“直击本质”——LoRA的目标不就是“以小搏大”,希望能接近全量微调的效果吗?既然如此,尽可能对齐全量微调的后续更新结果,不就是最正确的改进方向?从逼近的角度来看,“$W$的初始值等于$W_0$”相当于全量微调的零阶近似,保持后面的$W_1,W_2,\cdots$接近,则相当于是更高阶的近似,是合情合理的选择,所以笔者看完摘要后就有种“就是它了”的强烈感觉。
具体来说,假设我们的优化器是SGD,那么对于全量微调,我们有
\begin{equation} W_1 = W_0 - \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0}\end{equation}
其中$\mathcal{L}$是损失函数,$\eta$是学习率。如果是LoRA的话,那么有
\begin{equation}\begin{gathered}
A_1 = A_0 - \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_0} = A_0 - \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0} B_0^{\top},\quad B_1 = B_0 - \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial B_0} = B_0 - \eta A_0^{\top}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0} \\[8pt]
W_1 = W_0 - A_0 B_0 + A_1 B_1 \approx W_0 - \eta\left(A_0 A_0^{\top}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0}B_0^{\top} B_0\right)
\end{gathered}\end{equation}
最后的近似省略了$\eta$的二阶项。现在两个$W_1$具有相似的形式,为了让它们尽可能近似,我们可以考虑最小化
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{A_0,B_0}\left\Vert A_0 A_0^{\top}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0}B_0^{\top} B_0 - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0}\right\Vert_F^2 \label{eq:loss-0}\end{equation}
其中$\Vert\cdot\Vert_F^2$是矩阵的Frobenius范数的平方,即矩阵每个元素的平方和。
求解过程 #
简单起见,我们记$G_0=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W_0}$,那么目标$\eqref{eq:loss-0}$可以简写成
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{A_0,B_0}\left\Vert A_0 A_0^{\top}G_0 + G_0 B_0^{\top} B_0 - G_0\right\Vert_F^2 \label{eq:loss-1}\end{equation}
注意$A_0 A_0^{\top}G_0$、$G_0 B_0^{\top} B_0$的秩顶多为$r$,它们相加后的秩顶多为$2r$,我们假设$2r < \min(n,m)$,所以上述目标相当于寻找$G_0$的一个秩不超过$2r$的最优近似。
我们先考虑$G_0$是非负对角阵的情形,并且对角线元素已经按照从大到小的顺序排列。这个例子很简单,它的秩不超过$2r$的最优近似就是只保留对角线前$2r$个元素的新对角矩阵,这个结论叫做“Eckart-Young定理”,而能让$A_0 A_0^{\top}G_0 + G_0 B_0^{\top} B_0$只保留$G_0$的前$2r$个对角线元素的$A_0,B_0$可以是(分块矩阵):
\begin{equation}A_0 = (I_n)_{[:, :r]}, \quad B_0 = (I_m)_{[r:2r, :]}\end{equation}
其中$I_n,I_m$分别是$n,m$阶单位阵,${}_{[:, :r]}$和${}_{[r:2r, :]}$就是像Python切片那样,取前$r$列和第$r+1\sim 2r$行。注意我们说的是“可以是”,也就是说解并不唯一,说白了就是要把$G_0$的前$2r$个对角线元素挑出来,$A_0 A_0^{\top}G_0$和 $G_0 B_0^{\top} B_0$各挑一半,至于怎么分配就无所谓了。上面给出的解,对应的是$A_0 A_0^{\top}G_0$挑出前$r$个,$G_0 B_0^{\top} B_0$挑出第$r+1\sim 2r$个。
当$G_0$不是对角阵时,我们将它SVD为$U\Sigma V$,其中$U\in\mathbb{R}^{n\times n},V\in\mathbb{R}^{m\times m}$为正交矩阵,$\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times m}$为对角矩阵,对角线元素非负且从大到小排列。代入式$\eqref{eq:loss-1}$后得到
\begin{equation}\begin{aligned}
&\,\left\Vert A_0 A_0^{\top}G_0 + G_0 B_0^{\top} B_0 - G_0\right\Vert_F^2 \\
=&\, \left\Vert A_0 A_0^{\top}U\Sigma V + U\Sigma V B_0^{\top} B_0 - U\Sigma V\right\Vert_F^2 \\
=&\, \left\Vert U\left[(U^{\top}A_0) (U^{\top}A_0)^{\top}\Sigma + \Sigma (B_0 V^{\top})^{\top} (B_0 V^{\top}) - \Sigma \right]V\right\Vert_F^2 \\
=&\, \left\Vert (U^{\top}A_0) (U^{\top}A_0)^{\top}\Sigma + \Sigma (B_0 V^{\top})^{\top} (B_0 V^{\top}) - \Sigma\right\Vert_F^2 \\
\end{aligned}\end{equation}
前两个等号都是简单的代换,第三个等号是因为正交变换不改变Frobenius范数(请读者自行证明一下)。经过这样的转换,我们发现逼近的对象重新转变为对角阵$\Sigma$,自变量则变成了$U^{\top}A_0$、$B_0 V^{\top}$,那么按照$G_0$是对角矩阵时所给出的解,我们得到
\begin{equation}A_0 = U(I_n)_{[:, :r]} = U_{[:, :r]},\quad B_0 = (I_m)_{[r:2r, :]} V = V_{[r:2r, :]}\end{equation}
一般结果 #
现在我们就得到了LoRA的一种初始化方法:
LoRA-GA 选取一批样本,计算初始梯度$G_0 = \nabla_{W_0}\mathcal{L}$,对梯度SVD为$G_0 = U\Sigma V$,取$U$的前$r$列初始化$A$,取$V$的第$r+1\sim 2r$行初始化$B$。
这样LoRA + SGD得到的$W_1$就跟全量微调的$W_1$尽可能相近了。此外,梯度最重要的是方向,其模长不大重要,所以初始化结果我们还可以乘以个scale,LoRA本身也可以乘以个scale,即$W = (W_0 - \lambda A_0 B_0) + \lambda AB$,这些都是LoRA常见的超参数,这里就不展开讨论了。顺便提一下,形式上跟LoRA-GA比较相似的是PiSSA,它是对$W_0$做SVD来初始化$A,B$,这在理论支持上就不如LoRA-GA了,是一个纯粹的经验选择。
当然,可能有读者会发现目前的推导都是基于SGD优化器的假设,那么对于我们更常用的Adam优化器,结论是否要做出改变呢?理论上是要的。我们在《配置不同的学习率,LoRA还能再涨一点?》讨论过,对于Adam来说,第一步优化结果是$W_1 = W_0 - \eta\, \text{sign}(G_0)$而不是$W_1 = W_0 - \eta G_0$,这样重复前面的推导,我们可以得到优化目标为
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{A_0,B_0}\left\Vert A_0 \text{sign}(A_0^{\top}G_0) + \text{sign}(G_0 B_0^{\top}) B_0 - \text{sign}(G_0)\right\Vert_F^2 \label{eq:loss-adam}\end{equation}
由于符号函数$\text{sign}$的存在,我们没法求出它的解析解,所以针对Adam的理论分析就只能止步于此了。
在这个背景下,对于Adam优化器,我们有三个选择:
1、信仰:直接引用SGD的结果,相信它也可以在Adam中发挥同样的效果;
2、硬刚:用优化器直接去最小化目标$\eqref{eq:loss-adam}$,由于目标比较简单,计算量尚能接受;
3、投机:直觉上将$G_0$换成$\text{sign}(G_0)$,然后代入SGD的结论,可能更贴合Adam。
看起来原论文选择的是第1个方案,论文的实验结果确实也支持这一选择。
实验效果 #
论文的实验结果还是比较惊艳的,尤其是在GLUE上取得了最接近全量微调的效果:
平均来说,训练数据量越少,相对提升的幅度越大,这表明LoRA-GA对齐全量微调的策略,不仅有助于提高最终效果,还能提高训练效率,即可以用更少的训练步数就能达到更优的效果。
在LLAMA2-7b上的表现也可圈可点:
注意使用LoRA的主要场景是显存不足,但LoRA的初始化需要求出所有训练参数的完整梯度,这可能会由于显存不足而无法实现。为此,原论文提出的技巧是我们可以一个个参数串行地求梯度,而不是同时求所有训练参数的梯度,这样就可以把单步计算的显存降下来。串行求梯度虽然会降低效率,但初始化本身是一次性工作,因此稍慢点也无妨。至于怎么实现这个操作,不同框架有不同方法,这里也不展开讨论了。
文章小结 #
本文介绍了LoRA的一个新改进LoRA-GA。虽然LoRA的各种变体并不鲜见,但LoRA-GA以非常直观的理论指导折服了笔者,其改进思路给人一种“确认过眼神,它就是对的论文”的感觉,再配上可圈可点的实验结果,整个过程如行云流水,让人赏心悦目。
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苏剑林. (Jul. 12, 2024). 《对齐全量微调!这是我看过最精彩的LoRA改进(一) 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/10226
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August 12th, 2024
LoRA的初衷是为了在有限资源下实现高效微调,而LoRA-Pro却通过引入复杂的矩阵计算,大大增加了训练开销。
LoRA-Pro相比全量微调的成本还是更低的,相比常规LoRA确实增加了不少。不过作者表示确实在想办法优化这一点。
August 26th, 2024
请问为什么 $\mathbf{A}_0 \mathbf{A}_0^\top \mathbf{G}_0$的秩顶多为r 呀?
August 26th, 2024
@KLxz|comment-25110
我知道了,线代基本忘光现在。。
September 6th, 2024
[...]第三篇,对齐全量微调!这是我看过最精彩的LoRA改进(二)。[...]