我们在研究地球附近的小天体运动时，如果把天体和地球看作一个二体系统，那最多只能算上一个零级近似，如果使用“地球+月球+小天体”组成的圆形限制性三体问题模型，那可以算上一个二级近似了。那么，一级近似又是什么了。BoJone认为，它就是本文将要讲的“双固定引力中心问题”了，也叫“双不动中心问题”，英文名是two fixed-center problem。这是一种特殊的限制性三体问题。在这个三体系统中，两个主天体（或称有限质量天体）固定不动，第三个小天体在两个固定的主天体吸引下运动。欧拉、拉格朗日、勒让德、雅可比等人很早就研究过这个问题。其中，欧拉最先成功地求出了这个系统的积分。[引用]
另外，双固定引力中心问题还有另外一个应用，在研究人造卫星的运动时，可以只考虑地球引力，但是由于地球不是完美的球体，把其看成一个质点其实不十分精确，要是把它拆分为两个引力源，就可以很大程度上提高精确度。毕竟双固定引力中心问题是完全可以积分的，可以作为一个比较好的中间轨道（介乎圆锥曲线和精确轨道之间的）。
看完了“双不动中心”问题，我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题，在一个固定质点的引力吸引的基础上，增加一个恒力作用，研究这样的力场中小天体的运动。
咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了，至少运动方程也显得更简单：
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$
其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是，这个问题本质上和“双不动中心”是一样的，它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似，下面我们就来分析这一个过程。
首先很容易写出这个方程的能量守恒积分：
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$
28
May
两本通俗读物：混沌和对称
By 苏剑林 | 2011-05-28 | 17921位读者 | 引用第一本：《天遇——混沌与稳定性的起源》
一个天体力学中的N体问题的研究，竟然发展出了如此多的现代数学理论，这不能不说是一个令人意外的事情。而事实上，N体问题至今仍是无解，这也许并非坏事，因为未被完全攻克，就意味着“N体问题”仍然还是一只“会下金蛋的母鸡”！
本书是普林斯顿文集之一。作者通过大众化的语言，叙述了天体力学和动力系统理论的历史发展，让读者感到其中那激动人心的故事。BoJone认为，要想了解分析动力学（尤其是天体力学）的发展，本书是一本难得的读物。作为混沌和稳定性理论的入门前读物，本书也是非常适合的。读历史的关键是：学会思想！
6
Jun
只要我们曾经拥有过——《萍聚》
By 苏剑林 | 2011-06-06 | 22261位读者 | 引用这首歌是凤儿介绍的，去年我们学校高一夏令营的“主题歌曲”。她说歌词写得很好，我感觉也挺不错的^_^
萍，指的是漂浮在水面上的一种藻类，风吹过来，它们就会在风的作用力下聚在一起。人好象是浮在水面上的荷叶，聚散不过都是风吹动所致，到处飘散而已。因此便有了“萍水相逢”这一成语，指的是无心的邂逅或偶然的相遇。“萍聚”亦然。
曾有宋词写道“风中柳絮水中萍,聚散两无情”，这便让我们倍感人生悲欢离合的无奈。在这个充斥着高考的离别的六月里，离愁味道更浓了。可是，不论如何，明天的事情与我们无关，我们要珍惜今天事，珍惜今天人，尽我所能把握好我所拥有的。正如——
Cherish someone special for you and let them know you cherish them.
这样，当我们真的面临无可奈何的离别时，也能够含泪而微笑地挥手，唱着“只要我们曾经拥有过...”。这就是《萍聚》的声音！
19
Jun
向量结合复数：常曲率曲线(1)
By 苏剑林 | 2011-06-19 | 30112位读者 | 引用在之前的一篇向量系列的文章中，我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线（包括平面和空间的）的曲率半径为
$$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$$
曲率则是曲率半径的导数：$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下：曲率恒定的平面曲线是否只有圆？
答案貌似是很显然的，我们需要证明一下。
由于只是考虑平面情况，我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$，代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)
8
Jul
一道比较函数大小的题目
By 苏剑林 | 2011-07-08 | 21466位读者 | 引用在农村，7月是忙碌的月份，农民们要忙着收割稻谷，收割完后要晒谷，同时还得准备“下秧”，准备新一轮的耕，BoJone家自然也不例外。不过我家田比较少（1亩左右），收割机几分钟搞定，谷也三两天就晒完了。不过在晒谷的时候，BoJone在考虑一个“收谷”问题：
晒谷时得先把成堆的谷子摊开，薄薄地平铺在平地上，等到傍晚或即将下雨时（这是最惨的情况，搞不好会淋谷）就将其收起来。问题就源于这里，一般来说我们会把谷均匀地铺成矩形，要把所有的谷都推到矩形里或外的哪一点上，才使得我们做功做小？
这个问题还可以推广开来，例如对于一地任意形状的谷子（如三角形），把它集中堆到哪个点最“轻松”？一堆固定质量的谷子，要把它平铺成什么形状，才使得收谷时最“轻松”？当然，这个问题的解不仅仅用于“收谷”，在很多规划建设中也可以应用到，例如要在一个人口大致均匀的城市中建设一个服务中心，这个服务中心应该建在哪里？这有点类似于我们之前讨论过的费马点问题 ，都是费马点只考虑了三个点的距离，而这个问题得考虑所有点的距离。
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