有质动力:倒立单摆的稳定性
By 苏剑林 | 2013-12-29 | 43168位读者 | 引用一维弹簧的运动(上)
By 苏剑林 | 2014-03-11 | 24879位读者 | 引用平面曲线的曲率的复数表示
By 苏剑林 | 2014-03-04 | 25608位读者 | 引用开学已经是第二周了,我的《微分几何》也上课两周了,进度比较慢,现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\boldsymbol{t}(t)=(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。
$$\boldsymbol{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$,将这个向量逆时针旋转90度之后,就可以定义相应的单位法向量$\boldsymbol{n}$,即$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0$。
常规写法
让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程,$\boldsymbol{t}(s)=(x(s),y(s))$,函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\boldsymbol{t}}$,由于$\boldsymbol{t}^2=1$,对s求导得到
$$\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{t}}=0$$
一维弹簧的运动(下)
By 苏剑林 | 2014-03-13 | 23197位读者 | 引用在上一篇文章中,我们得到了一维弹簧运动的方程
$$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$$
并且得到了通解
$$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$$
或者
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$$
在文章的末尾,提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。
宇宙驿站服务器升级完毕
By 苏剑林 | 2014-01-19 | 26157位读者 | 引用今天是2014年2月14日,农历正月十五,传统的元宵佳节,祝大家元宵节快乐!
不过虽说是元宵佳节,但是我们这里的习俗却没有闹元宵的,好像在我们这里元宵节就像普通的初一十五一样,惯例地上个香,祭下神而已,唯一特别的地方就是早上妈妈放了个鞭炮,什么汤圆、灯笼、灯谜都没有呢。不过这并不妨碍我欣赏元宵节,印象里好像上学以来这是第一次在家过元宵节。幸好没有参加美国数学建模,不然又少了半个月的假期,少了一次难得的元宵,而多了得不偿失的劳动...
今天也是西方的情人节,但在这里我只强调元宵节。首要原因却不是我目前单身(当然这也是原因之一^_^),而是元宵节是中国传统节日。我这个人有个奇怪的“嗜好”,反正越潮流的东西我越不跟。于是乎,既然那么多人都庆祝着西方节日(什么万圣节、圣诞节、情人节),那么我就偏不凑这个热闹。我又想起了去年圣诞前夕有个师弟过来向我们宣传和推销圣诞的东西,被我批了一顿,我直言说“你为什么不等元旦再来?”。我想,如果哪一天,我也有机会庆祝情人节,我也只是庆祝中国的情人节,总感觉中国的情人节美多了:七夕,Qixi Festival,多美!不论是典故还是习俗都更美~
线性微分方程组:已知特解求通解
By 苏剑林 | 2014-06-18 | 34003位读者 | 引用含有$n$个一阶常微分方程的一阶常微分方程组
$$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$$
其中$\boldsymbol{x}=(x_1(t),\dots,x_n(t))^{T}$为待求函数,而$\boldsymbol{A}=(a_{ij}(t))_{n\times n}$为已知的函数矩阵。现在已知该方程组的$n-1$个线性无关的特解$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{n-1}$(解的列向量),求方程的通解。
这是我的一位同学在6月5号问我的一道题目,我当时看了一下,感觉可以通过李对称的方法很容易把解构造出来,当晚就简单分析了一下,发现根据李对称的思想,由上面已知的信息确实足以把通解构造出来。但是我尝试了好几天,尝试了几何、代数等思想,都没有很好地构造出相应的正则变量出来,从而也没有写出它的显式解,于是就搁置下来了。今天再分析这道题目时,竟在无意之间构造出了让我比较满意的解来~
翻到新的维度,把积分解决!
By 苏剑林 | 2014-02-25 | 31494位读者 | 引用一般来说,如果原函数容易找到的话,牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分,如果积分区间含有奇点,那就不成立了。比如,我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然,从严格的数学上来说,这种写法是不成立的,因为被积函数在原点没有意义。当然,从物理的角度来考虑,由于对称性,我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的,但是却不是让人满意的,因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢?确实有的,同样引入参数,并且最终让参数为0,考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正,这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了,也就是奇点消失了,这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况,就自动得到了积分发散的结论。
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