《方程与宇宙》：三体问题和它的初积分(六)

The Three Body Problem and its Classical Integration

很多天文爱好者都已经接触到了“二体问题”（我们在高中学习到的“开普勒三定律”就是内容之一），由于在太阳系中行星质量相对较小而且距离相对较远，应用“二体问题”的解对天体进行计算、预报等能够满足一定的近似需求。不过，如果需要更高精度的计算，就不能把其他行星的引力给忽略掉了，于是就产生了所谓N体问题（N-Body Problem），即N个质点尽在它们各自引力的相互作用下的运动规律问题。最简单的二体已经被彻底解决，而三体或更多体的问题则与二体大相径庭，因为庞加莱证明了，三体问题不能严格求解，而且这是一个混沌系统，任何微小的扰动都会造成不可预期的效果。

根据牛顿力学，选择惯性参考系，设三个质点分别为$M_1,M_2,M_3$，向径分别为$\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3}$，可以列出运动方程（以下的导数都默认是对时间t求导）

$$M_1\ddot{\vec{r_1}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_2}-\vec{r_1})}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|^3}+\frac{GM_1 M_3(\vec{r_3}-\vec{r_1})}{|\vec{r_3}-\vec{r_1}|^3}\tag{23}$$$$M_2\ddot{\vec{r_2}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_1}-\vec{r_2})}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_3}-\vec{r_2})}{|\vec{r_3}-\vec{r_2}|^3}\tag{24}$$$$M_3\ddot{\vec{r_3}}=\frac{GM_1 M_3(\vec{r_1}-\vec{r_3})}{|\vec{r_1}-\vec{r_3}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_2}-\vec{r_3})}{|\vec{r_2}-\vec{r_3}|^3}\tag{25}$$
我们也许看其他地方看到过类似这样的描述：“一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。”其实我认为这个说法不大严谨，或者说不大容易让人理解。准确来说，上面是一道二阶常微分方程组，其中每一个$\vec{r_i}$都可以投影到三个维度，所以得到9个二阶微分方程。每个二阶微分方程积分后都应该得到二个独立的积分常数，而且我们需要找到18个积分常数，问题才算完全解答。而1843年，雅可比证明，对N体问题，如果除两个积分外都已找出，则这两个积分也就随之可以用特殊方法找出。

对于N体问题，都有相同形式的10个经典积分。以三体问题为例，BoJone尝试和读者一起把这十个积分推导出来。首先是动量守恒，将(23)、(24)、(25)相加，我们得到
$$M_1 \ddot{\vec{r_1}}+M_2 \ddot{\vec{r_2}}+M_3 \ddot{\vec{r_3}}=0$$

积分得到$$M_1 \vec{r_1}+M_2 \vec{r_1}+M_3 \vec{r_1}=\vec{C}_1 t+\vec{C}_2\tag{26}$$
这里有多少个积分常数？两个？不对，这里已经有6个积分常数了！（投影到三维坐标系）。而且有一种特别情况，那就是如果选择它们的共同质心为参考点的话，会有$\vec{C}_1 =\vec{C}_2=\vec{0}$。这时问题会相对简单一些。

另外一个是动量矩守恒。根据(23)、(24)、(25)，我们有
$$\begin{aligned}M_1\vec{r_1}\times \ddot{\vec{r_1}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_1}\times \vec{r_2})}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|^3}+\frac{GM_1 M_3(\vec{r_1}\times \vec{r_3})}{|\vec{r_3}-\vec{r_1}|^3} \\ M_2\vec{r_2}\times \ddot{\vec{r_2}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_2}\times \vec{r_1})}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_2}\times \vec{r_3})}{|\vec{r_3}-\vec{r_2}|^3} \\ M_3\vec{r_3}\times \ddot{\vec{r_3}}=\frac{GM_1 M_3(\vec{r_3}\times \vec{r_1})}{|\vec{r_1}-\vec{r_3}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_3}\times \vec{r_2})}{|\vec{r_2}-\vec{r_3}|^3}\end{aligned}$$

将三式相加，并根据$\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}$得
$$M_1\vec{r_1}\times \ddot{\vec{r_1}}+M_2\vec{r_2}\times \ddot{\vec{r_2}}+M_3\vec{r_3}\times \ddot{\vec{r_3}}=0$$

由于$(\vec{r}\times \dot{\vec{r}})'=\vec{r}\times \ddot{\vec{r}}$，所以我们能够得到一个新积分
$$M_1\vec{r_1}\times \dot{\vec{r_1}}+M_2\vec{r_2}\times \dot{\vec{r_2}}+M_3\vec{r_3}\times \dot{\vec{r_3}}=\vec{C}_3\tag{27}$$
这又是三个积分常数了！可是不知道读者有没有注意到，我们在积分的过程中，并没有用到过“万有引力定律”，换句话说，已经得出来的9个积分中，并没有真正用上分母那一项，如$|\vec{r_2}-\vec{r_3}|^3$，或者说，不论万有引力的形式是$F=\frac{GM_1M_2}{R^2}$还是$F=\frac{GM_1M_2}{R^3}$，都可以得到这样的结果（只要引力方向在两者两线间）。因此，接下来积分的努力应该要放在分母项了。

$$\begin{aligned}M_1\ddot{\vec{r_1}}\cdot \dot{\vec{r_1}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_2}-\vec{r_1})\cdot \dot{\vec{r_1}}}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|^3}+\frac{GM_1 M_3(\vec{r_3}-\vec{r_1})\cdot \dot{\vec{r_1}}}{|\vec{r_3}-\vec{r_1}|^3} \\ M_2\ddot{\vec{r_2}}\cdot \dot{\vec{r_2}}=\frac{GM_1 M_2(\vec{r_1}-\vec{r_2})\cdot \dot{\vec{r_2}}}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_3}-\vec{r_2})\cdot \dot{\vec{r_2}}}{|\vec{r_3}-\vec{r_2}|^3} \\ M_3\ddot{\vec{r_3}}\cdot \dot{\vec{r_3}}=\frac{GM_1 M_3(\vec{r_1}-\vec{r_3})\cdot \dot{\vec{r_3}}}{|\vec{r_1}-\vec{r_3}|^3}+\frac{GM_2 M_3(\vec{r_2}-\vec{r_3})\cdot \dot{\vec{r_3}}}{|\vec{r_2}-\vec{r_3}|^3}\end{aligned}$$

三项相加得到
$$\begin{aligned}M_1\ddot{\vec{r_1}}\cdot \dot{\vec{r_1}}+M_2\ddot{\vec{r_2}}\cdot dot{\vec{r_2}}+M_3\ddot{\vec{r_3}}\cdot \dot{\vec{r_3}}=-GM_1 M_2\frac{(\vec{r_2}-\vec{r_1})\cdot (\vec{r_2}-\vec{r_1})'}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|^3} \\ -GM_2 M_3\frac{(\vec{r_3}-\vec{r_2})\cdot (\vec{r_3}-\vec{r_2})'}{|\vec{r_3}-\vec{r_2}|^3}-GM_1 M_3\frac{(\vec{r_3}-\vec{r_1})\cdot (\vec{r_3}-\vec{r_1})'}{|\vec{r_3}-\vec{r_1}|^3}\end{aligned}$$

又是那条恒等式了：$\vec{r}\cdot \dot{\vec{r}}=r \dot{r}$，变换得

$$\begin{aligned}M_1\ddot{\vec{r_1}}\cdot \dot{\vec{r_1}}+M_2\ddot{\vec{r_2}}\cdot dot{\vec{r_2}}+M_3\ddot{\vec{r_3}}\cdot dot{\vec{r_3}} \\ =-GM_1 M_2 \frac{d|\vec{r_2}-\vec{r_1}|}{dt|\vec{r_2}-\vec{r_1}|^2}-GM_2 M_3\frac{ d|\vec{r_3}-\vec{r_2}|}{dt|\vec{r_3}-\vec{r_2}|^2}-GM_1 M_3\frac{ d|\vec{r_3}-\vec{r_1}|}{dt|\vec{r_3}-\vec{r_1}|^2}\end{aligned}$$

左右两端都是可积的，因此有
$\frac{1}{2}M_1\dot{\vec{r_1}}^2+\frac{1}{2}M_2\dot{\vec{r_2}}^2+\frac{1}{2}M_3\dot{\vec{r_3}}^2=\frac{GM_1 M_2 }{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|}+\frac{GM_2 M_3}{|\vec{r_3}-\vec{r_2}|}+\frac{GM_1 M_3}{|\vec{r_3}-\vec{r_1}|}+C_4$—(28)

这就是最后一个积分了，是能量守恒的体现。注意这里的$C_4$是一个标量，因此它不像积分(27)那样可以三维投影，因此只算一个积分。至此，三体问题的十个初积分全部推导完毕。对于三体以上问题，也存在这十个积分，只要在(26)、(27)、(28)多加几项即可。很悲剧的是，目前来说，有且只有这10个积分。

1887年，布伦斯证明，如用直角坐标和速度分量作基本变量，则三体问题不存在新的代数积分（积分为变量的代数函数）。1889年，庞加莱又证明，如用轨道要素的组合作变量,则新的单值解析积分也不存在。1898年,潘勒韦进一步证明，表示为速度分量的代数函数形式的新积分也不存在。1941年，西格尔还证明，平面圆型限制性三体问题除雅可比积分外，不存在新的代数积分。尽管在寻找三体问题新积分的过程中出现了种种悲观的结论，但这些结论都是有条件的，并不是绝对的。路并没有堵死，但是也没有一丝光明的预兆。二十世纪五十年代以后，又提出了两条研究三体问题新积分的途径。

一条途径是寻求级数形式的新积分。例如，1965年希腊康托普洛斯找到一个用级数表示的积分。这个积分展开为以平面圆型限制性三体问题中较小有限体的质量作为小参数的幂级数，级数的系数原则上可以逐步求出，但为求积形式。只是这个级数的收敛性还没有证明，因此还不能正式成立。另一条途径是用数值方法证明新积分是否存在，对平面圆型限制性三体问题已有初步结果。例如，沃齐斯等人用数值方法找到了假想积分同雅可比积分相交的曲面与坐标面的交线，被称为不变曲线。根据不变曲线反证假想积分是存在的，但还未具体找到。

参考书目
《天体力学引论》 易照华
Y.Hagihara,Celestial Mechanics,Vol.I,MIT Press, Cambridge, 1970.

以上这些内容是BoJone在阅读《天体力学引论》时总结的，当然作者并没有使用向量来描述证明过程，而是使用了偏微分函数来描述。BoJone感觉向量推导读者可能更容易明白，因而使用了向量做法。其实，这十个初积分是天体力学最基本的内容之一，几乎在任何关于天体力学入门的著作都可以看到。不过BoJone在网络搜索了很久，都没有看见这方面的资料。可见，在当前，数学理论数字化、网络化的工作还是比较缺乏的，理论资源共享不是很足。因此在这里推导一遍，供有需要者参考。如有错误，请不吝指出。

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