科学空间|Scientific Spaces

学过线性代数的朋友都知道，方阵和非方阵的一个明显不同是，对于方阵我们可以计算它的行列式，如果不是方阵的话，就没有行列式这个概念了。在追求统一和谐的数学系统中，为什么非方阵却没有行列式？也许对于这个问题最恰当的回答是——因为不够美。对于非方阵，其实也可以类似地定义它的行列式，定义出来的东西，跟方阵的行列式具有同样的性质，比如某行乘上一个常数，行列式值也就乘以一个常数，等等；而且还可以把其几何意义保留下来。但是，非方阵的行列式是不够美的，因为对于一个一般的整数元素的方阵，我们的行列式是一个整数；而对于一个一般的整数元素的非方阵，却导致了一个无理数的行列式值。另外，一个也比较重要的原因是，单单是方阵的行列式也够用了。综合以上两个理由，非方阵的行列式就被舍弃不用了。

非方阵的行列式不够漂亮

$n$阶方阵的行列式是每个向量的线性函数，它代表着向量之间的线性相关性；从几何上来讲，它就是向量组成的平行n维体的（有向）体积。我们当然期望非方阵的行列式也保留这些性质，因为只有这样，方阵行列式的那些运算性质才得以保留，比如上面说的，行列式的一行乘上一个常数，行列式值也乘上一个常数。我们考虑$m\times n$的矩阵，其中$ m < n $，我们将它看成是$m$个$n$维向量的组合。最简单的，我们先考虑$1\times 2$矩阵的行列式，也就是二维向量$(a,b)$的行列式。

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在之前的文章《几何的数与数的几何：超复数的浅探究》中，我们谈及过四元数。四元数源于把复数的$|(a+bi)(c+di)|=|a+bi|\times|c+di|$这一独特的性质进行高维推广。为什么偏爱这一性质？读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子，有几何方面的，也有物理方面的，这一性质为处理模长相关问题带来了美妙的方便。本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用，这一例子同样展示了复数这一性质的神奇，让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力。

勾股数问题

读者或许已经知道，勾股数，也就是满足
$$x^2+y^2=z^2$$
的所有自然数解，由下面公式给出
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab,\quad z=a^2+b^2$$

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转载理由：现在的deepin和ylmf（已经改为StartOs）都已经在制作自己的Linux，而当初它们都是制作GhostXp的大家。我的初中，即2009年以前，是GhostXP流行的时代，而我当时也加入了这一行列中，发表过一些GhostXP的作品。后来随着时代的发展，XP也就慢慢退出了舞台。我也就随之退出了这个舞台，也因此得以专注科学。但是，几乎所有我的电脑知识，都积累于那个时期，因为为了完成一个系统的制作和推广，需要懂得的电脑技术很多很多，我也得到了充分的锻炼。下面列举的一些人，都是当年GhostXP界的神话人物，有些我并不认识，但其名在当时就如雷贯耳；有些人在当时还十分幸运地加上了他们的QQ。这篇文章实际上已经是很久已经的了，但还是值得回味过去的时间，以此为我的初中时代留下一些回忆。

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在高中阶段，笔者也像很多学生一样参加过数学竞赛，而在准备数学竞赛的过程中，也做过一些竞赛题，其中当然少不了不等式题目。当时，面对各种各样的不等式证明题，我总是非常茫然，因为看到答案之后，总感觉证明的构造非常神奇，但是每当我自己独立去做时，却总想不出来。于是后来就萌生了“有没有办法可以通用地证明这些不等式？”的想法。为了实现这个目的，当时就想出了本文的技巧——通过牺牲计算的简便性来换取证明的有效性。后来，我虽然没有走上数学竞赛这条路，但这个方法还是保留了下来，近日，在和数学研发论坛的朋友们讨论不等式问题时，重新拾起了这个技巧。

此前，在本博客的文章《对称多项式不等式的“物理证明”》中，已经谈到了这个技巧，只是限制于当时的知识储备，了解并不深入。而在本文中，则进行拓展了。这个技巧在当时是我自己在证明中独立发现的，而现在在网上查找时发现，前辈们（杨路、姚勇、杨学枝等）早已研究过这个技巧，称之为“差分代换”，并且已经探究过它在机器证明中的作用。该技巧可以很一般化地用于齐次/非其次不等式的证明，限于篇幅，本文只谈齐次多项式不等式，特别地，是对称齐次多项式不等式，并且发现某些可以简化之处。

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BoJone很喜欢Python，也很喜欢数论，所以就喜欢利用Python玩数论了。平时也喜欢自己动手写一些数论函数，毕竟Python支持大整数高精度运算，这点是非常好的；但是，在很多实际应用中，还是希望能有一个现成的数论函数库来调用。之前尝试过数学研发网的HugeCalc库，但是由于各种不熟悉不了了之。后来论坛上的无心老兄推荐了PARI/GP，小试一下，居然在Python上成功调用了。以后再也不用担心Python上的数论计算问题了，呵呵~

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在之前的欧拉数学中，我们计算过所有素数的倒数之和，得出素数的倒数之和是发散的，从而这也是一个关于素数个数为无穷的证明。在本篇文章中，我们尝试计算所有素数之积，通过一个简单的技巧，得到素数之积的一个上限（以后我们也会计算下限），从而也得到$\pi(n)$的一个上限公式。更重要的，该估计是初等地证明Bertrand假设（说的是n与2n之间定有一个素数）的重要基础之一。本文内容部分参考自《数学天书中的证明》和《解析和概率数论导引》。

素数之积

笔者已经说过，数论的神奇之处就是它总是出人意料地把数学的不同领域联系了起来。读者很快就可以看到，本文的证明和组合数学有重要联系（但仅仅是简单的联系）。关于素数之积，我们有以下结论：

不超过$n$的所有素数之积小于$4^{n-1}$。

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在小学的时候，数学老师就教我们除法运算：

被除数 = 除数 × 商 + 余数

其中，余数要小于除数。不过，我们也许未曾想到过，这一运算的成立，几乎是自然数$\mathbb{N}$所有算术（数论）运算性质成立的基础！在代数中，上面的运算等式称为带余除法（division algorithm）。如果在一个整环中成立带余除法，那么该整环几乎就拥有了所有理想的性质，比如唯一分解性，也就是我们说的算术基本定理。这样的一个整环，被称为唯一分解整环（Unique factorization domain）。

欧几里得整环

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唯一分解定理说的是在一个整环之中，所有的元素都可以分解为该整环的某些“素元素”之积，并且在不考虑元素相乘的顺序和相差单位数的意义之下，分解形式是唯一的。我们通常说的自然数就成立唯一分解定理，比如$60=2^2\times 3\times 5$，这种分解是唯一的，这看起来相当显然，但实际上唯一分解定理相当不显然。首先，并不是所有的整数环都成立唯一分解定理的，我们考虑所有偶数组成的环$2\mathbb{Z}$，要注意，在$2\mathbb{Z}$中，2、6、10、30都是素数，因为它们无法分解成两个偶数的乘积了，但是$60=6\times 10=2\times 30$，存在两种不同的分解，因此在这样的数环中，唯一分解定理就不成立了。

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现在可以开始$n=3$的证明了。在实整数范围内n=3的证明看起来相当复杂，而且跟n=4的证明似乎没有相通之处。然而，如果我们在$\mathbb{Z}[\omega]$中考虑$x^3+y^3+z^3=0$无解的证明，就会跟n=4时有很多类似的地方，而且事实上证明比n=4时简单（要注意在实整数范围内的证明，n=4比n=3简单。费马完成了n=4的证明，但是没完成n=3的证明。）。我想，正是这样的类似之处，才让当初还没有完成证明的数学家拉梅就自信他从这条路可以完成费马大定理的证明。（不过，这自信却是失败的案例：拉梅的路不能完全走通，而沿着这条路走得更远的当属库默，但即便这样，库默也没有证明费马大定理。）

证明跟$n=4$的第二个证明是类似的。我们先往方程中添加一个单位数，然后证明无论单位数是什么，方程在$\mathbb{Z}[\omega]$中都无解。这是一个很妙的技巧，让我们证明了更多的方程无解，但是却用到了更少的步骤。事实上，存在着只证明$x^3+y^3+z^3=0$无解的证明，但需要非常仔细地分析里边的单位数情况，这是相当麻烦的。本证明是我参考了Fermats last theorem blogspot上的证明，然后结合本系列n=4的第二个证明，简化而来，主要是减少了对单位数的仔细分析。

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