22 Dec

将多项式分解为两个不可约多项式之和

在高等代数的多项式一章中,通常会有这样的一道练习题:

证明任意有理数域上的多项式都能够表示为两个有理数域上的不可约多项式之和。

这是道简单的练习题,证明方法有多种。首先来介绍一个巧妙的证法。

一个巧妙证明

有理数域上的多项式问题等价于整数域上的多项式问题,因此,只需要对整数域上的多项式进行证明(这步转换使得我们可以使用艾森斯坦判别法)。设$f(x)$是整数域上的一个$n$次多项式:
$$f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0$$
我们只需要注意到
$$p f(x)=\left[p f(x)+x^n+p\right]-(x^{n}+p)$$

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17 Aug

从费马大定理谈起(四):唯一分解整环

在小学的时候,数学老师就教我们除法运算:

被除数 ÷ 除数 = 商 + 余数

其中,余数要小于除数。不过,我们也许未曾想到过,这一运算的成立,几乎是自然数$\mathbb{N}$所有算术(数论)运算性质成立的基础!在代数中,上面的运算等式称为带余除法(division algorithm)。如果在一个整环中成立带余除法,那么该整环几乎就拥有了所有理想的性质,比如唯一分解性,也就是我们说的算术基本定理。这样的一个整环,被称为唯一分解整环(Unique factorization domain)。

欧几里得整环

Euklid-von-Alexandria_1

Euklid-von-Alexandria_1

唯一分解定理说的是在一个整环之中,所有的元素都可以分解为该整环的某些“素元素”之积,并且在不考虑元素相乘的顺序和相差单位数的意义之下,分解形式是唯一的。我们通常说的自然数就成立唯一分解定理,比如$60=2^2\times 3\times 5$,这种分解是唯一的,这看起来相当显然,但实际上唯一分解定理相当不显然。首先,并不是所有的整数环都成立唯一分解定理的,我们考虑所有偶数组成的环$2\mathbb{Z}$,要注意,在$2\mathbb{Z}$中,2、6、10、30都是素数,因为它们无法分解成两个偶数的乘积了,但是$60=6\times 10=2\times 30$,存在两种不同的分解,因此在这样的数环中,唯一分解定理就不成立了。

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