勾股数的通解及其推广

在之前的文章《几何的数与数的几何：超复数的浅探究》中，我们谈及过四元数。四元数源于把复数的$|(a+bi)(c+di)|=|a+bi|\times|c+di|$这一独特的性质进行高维推广。为什么偏爱这一性质？读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子，有几何方面的，也有物理方面的，这一性质为处理模长相关问题带来了美妙的方便。本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用，这一例子同样展示了复数这一性质的神奇，让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力。

勾股数问题

读者或许已经知道，勾股数，也就是满足
$$x^2+y^2=z^2$$
的所有自然数解，由下面公式给出
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab,\quad z=a^2+b^2$$
我们暂且不关注充分性的证明，只是来思考如何推导出这个通解。类似地，我们还可以提出类似的问题，比如$x^2+2y^2=z^2$、$x^2+xy+y^2=z^2$等方程的自然数解。这类方程有一个特征，那就是三元、二次、齐次的不定方程。它们通解的推导，有一个类似的通用的技巧，那就是用到文章开头提到的复数的模性质。

首先考虑勾股数的通解问题，我们只需要注意到
$$(a^2+b^2)^2=|a+bi|^4=|(a^2-b^2)+2abi|^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2$$
神奇吧？利用复数推导一气呵成，这就是复数的模性质！

如果要考虑
$$x^2+n\cdot y^2=z^2,\quad n\in\mathbb{N}$$
的通解呢？有两种思路，一种是直接在上述勾股数的通解中变形，读者亲自尝试即可。另外可以直接利用复数的性质：
$$\begin{aligned}(a^2+n b^2)^2=&|a+b\sqrt{n}i|^4=|a^2-n b^2+2ab\sqrt{n}i|^2\\ =&(a^2-n b^2)^2+n\cdot (2ab)^2\end{aligned}$$
也许读者要继续问$m\cdot x^2+n\cdot y^2=z^2,\quad m,n\in\mathbb{N}$的通解，很遗憾，上述方法不能用了。事实上，对于一般的m,n，相应的不定方程不一定有通解。

更漂亮的例子

下面我们考虑
$$z^2=x^2+xy+y^2$$
的自然数解。为了推导通解，可以通过配方的方式，将其变为$x^2+n\cdot y^2=z^2$类型的问题，进而转化为勾股数问题。但是，这种“迂回”的手段显然不如下面的技巧直接漂亮！

复数可以看作是实数域上的二维向量空间，它的基是$1$和$i$，但它既然是有限维的向量空间，就不是非得取$1$和$i$为基。我们可以换一个基，以$1$和$\omega$为基，其中$\omega=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$，那么每一个复数也都可以唯一地写成
$$a+b\omega$$
如果$a,b$都是整数，那么这类数称为艾森斯坦整数。对于基$\omega$，它是三次方程$x^3+1=0$的复根之一，我们有公式
$$\omega^2-\omega+1=0$$
可以计算
$$|a+b\omega|^2=a^2+ab+b^2$$
于是
$$\begin{aligned}(a+b\omega)^2=&a^2+b^2\omega^2+2ab\omega\\ =&a^2-b^2(-\omega+1)+2ab\omega\\ =&a^2-b^2+(2ab+b^2)\omega \end{aligned}$$
所以
$$\begin{aligned}&(a^2+ab+b^2)^2=|a+b\omega|^4\\ =&|a^2-b^2+(2ab+b^2)\omega|^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(a^2-b^2)(2ab+b^2)+(2ab+b^2)^2\end{aligned}$$
于是我们便漂亮地得到通解
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab+b^2,\quad z=a^2+ab+b^2$$

同样的技巧，可以用于求解
$$z^2=x^2+(2\alpha)xy+(\alpha^2+\beta^2)y^2$$
的自然数解，只需以$1$和$\alpha+\beta i$为复数基。

数学研发论坛

这种漂亮的技巧，是我4年前在数学研发论坛的一个帖子上讨论时学习而来，当时看到就有巧夺天工的感觉。那时理解之后，本就想在blog中写写与大家分享，可惜因为各种原因，后来竟也忘了。最近数学研发论坛上有朋友又问到相似的问题，遂拾起写写，与大家分享。

数学研发论坛应该是我接触网络以来接触的第一个数学论坛了吧，当年同时接触的还有西陆等等数学论坛，但是维持至今的，好像也只有数学研发论坛了。了解到数学研发论坛，是因为郭坛主所开发的HugeCalc，一个高精度快速大数运算工具。我刚在论坛注册时，论坛正好从西陆论坛转到了5d6d上面，用户不多，估计我也算是第一批加入的人了吧。论坛上活跃着一批高手，擅长数学、计算机等各个领域，有数论的、分析的、编程的~~我在上面学习到了很多知识，尤其是关于数论的。比如上面的帖子，使我学习到了艾森斯坦整数，学习到了整数环等概念。后来，在5d6d实在难以维持，论坛独立出来，有了自己的服务器，并把原来的资源都导出来了。事实上，数学研发论坛里各种数学帖子，是最珍贵的网络数学中文资源之一。

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