科学空间|Scientific Spaces

话说我觉得我自己最近写文章都喜欢长篇大论了，而且扎堆地来～之前连续写了三篇关于Capsule的介绍，这次轮到VAE了，本文是VAE的第三篇探索，说不准还会有第四篇～不管怎么样，数量不重要，重要的是能把问题都想清楚。尤其是对于VAE这种新奇的建模思维来说，更加值得细细地抠。

这次我们要关心的一个问题是：VAE为什么能成？

估计看VAE的读者都会经历这么几个阶段。第一个阶段是刚读了VAE的介绍，然后云里雾里的，感觉像自编码器又不像自编码器的，反复啃了几遍文字并看了源码之后才知道大概是怎么回事；第二个阶段就是在第一个阶段的基础上，再去细读VAE的原理，诸如隐变量模型、KL散度、变分推断等等，细细看下去，发现虽然折腾来折腾去，最终居然都能看明白了。

这时候读者可能就进入第三个阶段了。在这个阶段中，我们会有诸多疑问，尤其是可行性的疑问：“为什么它这样反复折腾，最终出来模型是可行的？我也有很多想法呀，为什么我的想法就不行？”

前文之要

让我们再不厌其烦地回顾一下前面关于VAE的一些原理。

VAE希望通过隐变量分解来描述数据$X$的分布
$$p(x)=\int p(x|z)p(z)dz,\quad p(x,z) = p(x|z)p(z)\tag{1}$$

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笔者去年曾写过博文《果壳中的条件随机场(CRF In A Nutshell)》，以一种比较粗糙的方式介绍了一下条件随机场（CRF）模型。然而那篇文章显然有很多不足的地方，比如介绍不够清晰，也不够完整，还没有实现，在这里我们重提这个模型，将相关内容补充完成。

本文是对CRF基本原理的一个简明的介绍。当然，“简明”是相对而言中，要想真的弄清楚CRF，免不了要提及一些公式，如果只关心调用的读者，可以直接移到文末。

图示

按照之前的思路，我们依旧来对比一下普通的逐帧softmax和CRF的异同。

逐帧softmax

CRF主要用于序列标注问题，可以简单理解为是给序列中的每一帧都进行分类，既然是分类，很自然想到将这个序列用CNN或者RNN进行编码后，接一个全连接层用softmax激活，如下图所示

逐帧softmax并没有直接考虑输出的上下文关联

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说到噪声对比估计，或者“负采样”，大家可能立马就想到了Word2Vec。事实上，它的含义远不止于此，噪音对比估计（NCE, Noise Contrastive Estimation）是一个迂回但却异常精美的技巧，它使得我们在没法直接完成归一化因子（也叫配分函数）的计算时，就能够去估算出概率分布的参数。本文就让我们来欣赏一下NCE的曲径通幽般的美妙。

注：由于出发点不同，本文所介绍的“噪声对比估计”实际上更偏向于所谓的“负采样”技巧，但两者本质上是一样的，在此不作区分。

问题起源

问题的根源是难分难舍的指数概率分布～

指数族分布

在很多问题中都会出现指数族分布，即对于某个变量$\boldsymbol{x}$的概率$p(\boldsymbol{x})$，我们将其写成
$$p(\boldsymbol{x}) = \frac{e^{G(\boldsymbol{x})}}{Z}\tag{1}$$
其中$G(\boldsymbol{x})$是$\boldsymbol{x}$的某个“能量”函数，而$Z=\sum_{\boldsymbol{x}} e^{G(\boldsymbol{x})}$则是归一化常数，也叫配分函数。这种分布也称为“玻尔兹曼分布”。

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本来笔者已经决心不玩RNN了，但是在上个星期思考时忽然意识到RNN实际上对应了ODE（常微分方程）的数值解法，这为我一直以来想做的事情——用深度学习来解决一些纯数学问题——提供了思路。事实上这是一个颇为有趣和有用的结果，遂介绍一翻。顺便地，本文也涉及到了自己动手编写RNN的内容，所以本文也可以作为编写自定义的RNN层的一个简单教程。

注：本文并非前段时间的热点“神经ODE”的介绍（但有一定的联系）。

RNN基本

什么是RNN？

众所周知，RNN是“循环神经网络（Recurrent Neural Network）”，跟CNN不同，RNN可以说是一类模型的总称，而并非单个模型。简单来讲，只要是输入向量序列$(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_T)$，输出另外一个向量序列$(\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2,\dots,\boldsymbol{y}_T)$，并且满足如下递归关系
$$\boldsymbol{y}_t=f(\boldsymbol{y}_{t-1}, \boldsymbol{x}_t, t)\tag{1}$$
的模型，都可以称为RNN。也正因为如此，原始的朴素RNN，还有改进的如GRU、LSTM、SRU等模型，我们都称为RNN，因为它们都可以作为上式的一个特例。还有一些看上去与RNN没关的内容，比如前不久介绍的CRF的分母的计算，实际上也是一个简单的RNN。

说白了，RNN其实就是递归计算。

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搞计算机视觉的朋友会知道，AM-Softmax是人脸识别中的成果。所以这篇文章就是借鉴人脸识别的做法来做句子相似度模型，顺便介绍在Keras下各种margin loss的写法。

背景

细想之下会发现，句子相似度与人脸识别有很多的相似之处～

已有的做法

在我搜索到的资料中，深度学习做句子相似度模型，就只有两种做法：一是输入一对句子，然后输出一个0/1标签代表相似程度，也就是视为一个二分类问题，比如《Learning Text Similarity with Siamese Recurrent Networks》中的模型是这样的

将句子相似度视为二分类模型

包括今年拍拍贷的“魔镜杯”，也是这种格式。另外一种做法是输入一个三元组“（句子A，跟A相似的句子，跟A不相似的句子）”，然后用triplet loss的做法解决，比如文章《Applying Deep Learning To Answer Selection: A Study And An Open Task》中的做法。

这两种做法其实也可以看成是一种，本质上是一样的，只不过loss和训练方法有所差别。但是，这两种方法却都有一个很严重的问题：负样本采样严重不足，导致效果提升非常慢。

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SamplePairing和mixup是两种一脉相承的图像数据扩增手段，它们看起来很不合理，而操作则非常简单，但结果却非常漂亮：在多个图像分类任务中都表明它们能提高最终分类模型的精度。

某些读者会困惑于一个问题：为什么如此不合理的数据扩增手段，能得到如此好的效果？而本文则要表明，它们看起来是一种数据扩增方法，事实上它们是对模型的一种正则化方案。正如周星驰的电影《国产凌凌漆》的一句经典台词：

表面上看这是一个吹风机，其实它是一个刮胡刀。

数据扩增

让我们从数据扩增说起。数据扩增是指我们在对原始数据做一些简单的变换后，它们对应的类别往往不会变化，所以我们可以在原来数据的基础上，“造”出更多的数据来。比如一幅小狗的照片，将它水平翻转、轻微的旋转、裁剪、平移等操作后，我们认为它的类别没有变化，它还是原来的那只狗。这样一来，从一个样本我们可以衍生出好几个样本，从而增加了训练样本量。

狗

旋转的狗

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前言：自从在机器之心上看到了glow模型之后（请看《下一个GAN？OpenAI提出可逆生成模型Glow》），我就一直对其念念不忘。现在机器学习模型层出不穷，我也经常关注一些新模型动态，但很少像glow模型那样让我怦然心动，有种“就是它了”的感觉。更意外的是，这个效果看起来如此好的模型，居然是我以前完全没有听说过的。于是我翻来覆去阅读了好几天，越读越觉得有意思，感觉通过它能将我之前的很多想法都关联起来。在此，先来个阶段总结。

背景

本文主要是《NICE: Non-linear Independent Components Estimation》一文的介绍和实现。这篇文章也是glow这个模型的基础文章之一，可以说它就是glow的奠基石。

艰难的分布

众所周知，目前主流的生成模型包括VAE和GAN，但事实上除了这两个之外，还有基于flow的模型（flow可以直接翻译为“流”，它的概念我们后面再介绍）。事实上flow的历史和VAE、GAN它们一样悠久，但是flow却鲜为人知。在我看来，大概原因是flow找不到像GAN一样的诸如“造假者-鉴别者”的直观解释吧，因为flow整体偏数学化，加上早期效果没有特别好但计算量又特别大，所以很难让人提起兴趣来。不过现在看来，OpenAI的这个好得让人惊叹的、基于flow的glow模型，估计会让更多的人投入到flow模型的改进中。

glow模型生成的高清人脸

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由于VAE中既有编码器又有解码器（生成器），同时隐变量分布又被近似编码为标准正态分布，因此VAE既是一个生成模型，又是一个特征提取器。在图像领域中，由于VAE生成的图片偏模糊，因此大家通常更关心VAE作为图像特征提取器的作用。提取特征都是为了下一步的任务准备的，而下一步的任务可能有很多，比如分类、聚类等。本文来关心“聚类”这个任务。

一般来说，用AE或者VAE做聚类都是分步来进行的，即先训练一个普通的VAE，然后得到原始数据的隐变量，接着对隐变量做一个K-Means或GMM之类的。但是这样的思路的整体感显然不够，而且聚类方法的选择也让我们纠结。本文介绍基于VAE的一个“一步到位”的聚类思路，它同时允许我们完成无监督地完成聚类和条件生成。

理论

一般框架

回顾VAE的loss（如果没印象请参考《变分自编码器（二）：从贝叶斯观点出发》）：
$$KL\Big(p(x,z)\Big\Vert q(x,z)\Big) = \iint p(z|x)\tilde{p}(x)\ln \frac{p(z|x)\tilde{p}(x)}{q(x|z)q(z)} dzdx\tag{1}$$
通常来说，我们会假设$q(z)$是标准正态分布，$p(z|x),q(x|z)$是条件正态分布，然后代入计算，就得到了普通的VAE的loss。

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