科学空间|Scientific Spaces

我现在是越来越佩服爱因斯坦了，他的相对论是他天才的思想的充分体现。只有当相对论提出之后，宏观物理的大多数现象和规律才得到了统一的描述。狭义相对论中爱因斯坦对我们速度叠加常识的否定已经显示了他莫大的勇气，而一项头脑风暴性的工作——广义相对论则将他惊人的创造力体现得完美无瑕。我是被量子力学的数学吸引的，于相对论则是被相对论美妙的逻辑体系吸引。当然，其中也有相当美妙的数学。

狭义相对论中的核心内容之一就是被称为洛仑兹变换的东西，这在相对论发表之前已经由洛仑兹推导出来了，只不过他不承认他的物理意义，也就没有就此进行一次物理革命，革命的任务则由爱因斯坦完成。很久前我就已经看过洛仑兹变换的推导，那是直接设一种线性关系来求解的。但是我总感觉那样的推导不够清晰（也许是我的理解方式有问题吧），而且没有说明狭义相对论的两条原理如何体现出现。所以在研究过矩阵之后，我就尝试用矩阵来推导洛仑兹变换，发现效果挺好的，而且我觉得能够体现出相对论中的对称性。

两条原理

1、狭义相对性原理：在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广，它适用于一切物理定律，其本质是所有惯性系平权。

2、光速不变原理：所有惯性系中，真空中的光速都等于c=299 792 458 m/s，与光源运动无关。迈克耳孙-莫雷实验是其有力证明。

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今天早上子瑞给我发了一个问题来，他说：

一个数，各个数字加起来等于104，乘以2后各个数字加起来等于100，已知这个数字没有9，有4个8、3个7和2个6，问这个数字有多少个5？

当然这道题目不难，稍加分析就可以得出答案，不过不得不说这是一道趣题，而且更像一个数字游戏。

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在上一篇文章中，我们以矩阵的方式推导出了洛仑兹变换。矩阵表述不仅仅具有形式上的美，还具有很重要的实用价值，比如可以很方便地寻找各种不变量。当洛仑兹变换用矩阵的方式表达出来后，很多线性代数中已知的理论都可以用在上边。在这篇小小的续集中，我们将尝试阐述这个思想。

本文中，继续设光速$c=1$。

我们已经得到了洛仑兹变换的矩阵形式：
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} x\\t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x'\\t' \end{array}\right]\end{equation}

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农村的孩子免不了常做家务，当然我家也没有什么特别沉重的家务，通常都是扫地、做饭、洗菜这些简单的活儿。说到洗菜，洗完菜后总喜欢边放水边搅水，然后就在水面上形成一个颇为有趣的漩涡。现在我们从数学物理的角度来分析一下这个漩涡。

在讲洗手盆的漩涡之前，我们先来看一下一个比较类似的、更古老的问题——牛顿的旋转液面问题。牛顿假设有一个水桶（假设为圆柱形吧，但这不重要），水桶在绕自己的中轴线匀角速度旋转，直到桶内的水也随着匀角速度旋转（即水与水桶相对静止），此时水的液面形状是凹的，我们来看看该液面的形状。

牛顿的水桶

要分析形状，我们还要回顾之前提到过的流体静力学平衡：
http://kexue.fm/archives/1964/

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这是Arnold给物理系学生出的基础数学题。原文是Arnold于1991年，在Russian Math Surveys 46:1(1991),271-278上发的一篇文章，英文名叫 A mathematical trivium，这篇文章是有个前言的，用两页纸的内容吐槽了1991年的学生数学学得很烂，尤其是物理系的。文后附了100道数学题，号称是物理系学生的数学底线。

这是给物理系出的数学题，所以和一般的数学竞赛题目不同，没太多证明题，主要就是计算和解模型，而且还有不少近似估算的，带有明显的物理风格。虽然作者说这是物理系学生数学的底线，但即使对于数学系的学生来说，这些题目还是有不少难度的。网络也有一些题目的答案，但是都比较零散。在这里与大家分享一下题目。什么时候有时间了，或者刚好碰到类似的研究，我也会把题目做做，与各位分享。希望有兴趣的朋友做了之后也把答案与大家交流呀。

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今年的天象中的“重头戏”——C/2012 S1 (ISON)彗星将在月底闪亮登场！

ISON_Comet_captured_by_HST,_April_10-11,_2013

先贴出来自scully.cfa.harvard.edu的数据：

Date TT R. A. (2000) Decl. Delta r Elong. Phase m1 m2
2013 11 24 14 45 42.7 -18 53 56 0.8693 0.3002 17.1 104.3 3.0
2013 11 25 15 01 27.3 -20 05 10 0.8819 0.2551 14.3 107.0 2.5
2013 11 26 15 18 04.6 -21 09 58 0.8998 0.2058 11.4 109.3 1.8
2013 11 27 15 35 58.3 -22 05 30 0.9244 0.1502 8.2 110.4 0.7
2013 11 28 15 56 28.2 -22 43 29 0.9594 0.0826 4.6 106.9 -1.3
2013 11 29 16 23 17.5 -19 52 57 0.9762 0.0322 1.8 107.7 -4.5
2013 11 30 16 21 22.4 -16 20 32 0.9125 0.1145 5.3 127.4 -0.2
2013 12 01 16 19 11.8 -13 59 07 0.8681 0.1757 8.1 128.1 1.2
2013 12 02 16 17 23.9 -11 56 02 0.8309 0.2281 10.6 127.3 2.0
2013 12 03 16 15 54.3 -10 00 54 0.7980 0.2754 13.0 126.1 2.5

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向量之间的运算有点积和叉积（Cross Product，向量积、外积），其中点积是比较简单的，而且很容易推广到高维；但是叉积不同，一般来说它只不过是三维空间中的东西。叉积的难以推广在于它的多重含义性，如果将向量及其叉积放到张量里边来看（这属于微分形式的内容），那么三维以上的向量叉积是不存在的；但是如果只是把叉积看成是“由两个向量生成第三个与其正交的向量”的工具的话，那么叉积也是可以高维推广的，而且推广的技巧非常巧妙，与三维空间的叉积也非常相似。

回顾三维空间

为了推广三维空间的叉积，首先回顾三维空间的叉积来源是有益的。叉积起源于四元数乘法，但是从目的性来讲，我们希望构造一个向量$\boldsymbol{w}=(w_1,w_2,w_3)$，使得它与已知的两个不共线的向量$\boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3),\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)$垂直（正交）。从普适性的角度来讲，我们还希望构造出来的向量没有任何“奇点”，为此，我们只用乘法构造。至于叉积的几何意义，则是后话，毕竟，先达到基本的目的再说。

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