24 May

《虚拟的实在(1)》——为什么需要场?

迈克尔·法拉第肖像画

迈克尔·法拉第肖像画

这段时间我接触的物理学都是场论,从各种方面为广义相对论奠基。自我感觉,我的数学基础还算可以的,但是物理“底蕴”就不够了,通常是能够把物理理论的数学描述看懂,但是对每一步的物理基础和来源却不甚了解,真是“数学有余而物理不足”呀。陶醉在场论的海洋一段时间之后,对场论也有了个大概的印象。但是有一个最基础的问题,直到今天我才算是得到了比较满意的解答——为什么要引入场?

在传统的牛顿力学中并没有“场”这一概念,比如天体力学我们只需要考虑天体之间的相互作用力就可以完美解决很多问题,根本不需要场。估计广大读者首次接触到“场”的概念是在高中学习电学的时候,那时教科书给我们带来了电场、场线等诸多诡异的概念。事实上就是如此,可以这样说,历史上“场”是为了电磁学而诞生的——法拉第首次引入的场线具有独特的魅力。

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11 May

电的相对论效应——磁“子虚乌有”?

也许大家会觉得,相对论中有一个因子
$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
因此,相对论的效应只有在高速情况下,即v比较接近于c的情况下才会凸显出来。这在一般情况下是正确的,但是却不全对。因为存在相当明显的、速度低于1mm/s的相对论效应——那就是几乎人尽皆知的“磁”。

之前已经提及过,磁场可以解释为电场的相对论效应,因此所有电磁现象都可以归因为电场和相对论。事实上,这是正确的,只是教科书上并没有明确说出这一点而已。于是我们就不难理解“为什么电磁学的麦克斯韦方程组会与相对论协调”、“为什么电场与磁场的表现如此相似”等等问题了,因为它们的探究本身就在相对论的框架下,磁场和电场都是一个东西的结果。

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18 Apr

纠缠的时空(三):长度收缩和时间延缓

我们之前通过矩阵变换方式推导出了洛伦兹变换以及速度合成公式等结论,不得不说,矩阵推导方式有种引人入胜的魅力。今天,在讲述相对论(包括电动力学、广义相对论)的书籍里边,在数学形式上取而代之了张量这一工具,这实际上是对矩阵的一个推广(之前已经提到过,二阶张量相当于矩阵)。采用这样的形式在于它充分体现了相对论的对称和变换关系。本文将来谈及狭义相对论的一些基本结论,包括同时性、长度收缩、时间延缓等。

本文的光速$c=1$。

同时的相对性

在同一时空中,采取两个时空坐标进行洛伦兹变换,再作差,我们得到:
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta x'\\ \Delta t' \end{array}\right]\end{equation}

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14 Apr

流体静力平衡的应用

很早以前我就对这个问题感兴趣了,但是一直搁置着,没有怎么研究。最近在阅读《引力与时空》的“潮汐力”那一节时重新回到了这个问题上,决定写点什么东西。在这里不深究流体静力平衡的定义,顾名思义地理解,它就是流体在某个特定的力场下所达到的平衡状态。流体静力学告诉我们:

达到流体静力平衡时,流体的面必定是一个等势面。

这是为什么呢?我们从数学的角度来简单分析一下:只考虑二维情况,假如等势面方程是$U(x,y)=C$,那么两边微分就有
$$0=dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})\cdot (dx,dy)$$

这意味着向量$(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})$和向量$(dx,dy)$是垂直的,前者便是力的函数,后者就是一个切向量(三维就是一个切平面)。也就是说合外力必然和流体面垂直,这样才能提供一个相等的方向相反的内力让整个结构体系处于平衡状态!

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13 Mar

单摆运动级数解:初试同伦分析

开始之初,我偶然在图书馆看到了一本名为《超越摄动:同伦分析方法导论》,里边介绍了一种求微分方程近似解的新方法,关键是里边的内容看起来并不是十分难懂,因此我饶有兴致地借来研究了。果然,这是一种非常有趣的方法,在某种意义上来说,还是非常简洁的方法。这解决了我一直以来想要研究的问题:用傅里叶级数来近似描述单摆运动的近似解。当然,它带给我的冲击不仅仅是这些。为了得出周期解,我又同时研究了各种摄动方法的技巧,如消除长期项的PL(Poincaré–Lindstedt)方法。这同时增加了我对各种近似解析方法的了解。从开学到现在快三周的时间,我一直都在研究这些问题。

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27 Feb

纠缠的时空(二):洛仑兹变换的矩阵(续)

在上一篇文章中,我们以矩阵的方式推导出了洛仑兹变换。矩阵表述不仅仅具有形式上的美,还具有很重要的实用价值,比如可以很方便地寻找各种不变量。当洛仑兹变换用矩阵的方式表达出来后,很多线性代数中已知的理论都可以用在上边。在这篇小小的续集中,我们将尝试阐述这个思想。

本文中,继续设光速$c=1$。

我们已经得到了洛仑兹变换的矩阵形式:
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} x\\t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x'\\t' \end{array}\right]\end{equation}

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3 Feb

关于“平衡态公理”的更正与思考

在《自然极值》系列文章中,我引用了《数学方法论与解题研究》(张雄,李得虎编著)中提到的“平衡态公理”,并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极(小)值时取到,简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展,比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的,但在有些时候,我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极(小)值时取到”。然而,这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。

先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发,考虑保守系统,每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S:
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$

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1 Feb

纠缠的时空(一):洛仑兹变换的矩阵

我现在是越来越佩服爱因斯坦了,他的相对论是他天才的思想的充分体现。只有当相对论提出之后,宏观物理的大多数现象和规律才得到了统一的描述。狭义相对论中爱因斯坦对我们速度叠加常识的否定已经显示了他莫大的勇气,而一项头脑风暴性的工作——广义相对论则将他惊人的创造力体现得完美无瑕。我是被量子力学的数学吸引的,于相对论则是被相对论美妙的逻辑体系吸引。当然,其中也有相当美妙的数学。

狭义相对论中的核心内容之一就是被称为洛仑兹变换的东西,这在相对论发表之前已经由洛仑兹推导出来了,只不过他不承认他的物理意义,也就没有就此进行一次物理革命,革命的任务则由爱因斯坦完成。很久前我就已经看过洛仑兹变换的推导,那是直接设一种线性关系来求解的。但是我总感觉那样的推导不够清晰(也许是我的理解方式有问题吧),而且没有说明狭义相对论的两条原理如何体现出现。所以在研究过矩阵之后,我就尝试用矩阵来推导洛仑兹变换,发现效果挺好的,而且我觉得能够体现出相对论中的对称性。

两条原理

1、狭义相对性原理:在所有惯性系中,物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广,它适用于一切物理定律,其本质是所有惯性系平权。

2、光速不变原理:所有惯性系中,真空中的光速都等于c=299 792 458 m/s,与光源运动无关。迈克耳孙-莫雷实验是其有力证明。

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