单摆运动级数解：初试同伦分析

开始之初，我偶然在图书馆看到了一本名为《超越摄动：同伦分析方法导论》，里边介绍了一种求微分方程近似解的新方法，关键是里边的内容看起来并不是十分难懂，因此我饶有兴致地借来研究了。果然，这是一种非常有趣的方法，在某种意义上来说，还是非常简洁的方法。这解决了我一直以来想要研究的问题：用傅里叶级数来近似描述单摆运动的近似解。当然，它带给我的冲击不仅仅是这些。为了得出周期解，我又同时研究了各种摄动方法的技巧，如消除长期项的PL(Poincaré–Lindstedt)方法。这同时增加了我对各种近似解析方法的了解。从开学到现在快三周的时间，我一直都在研究这些问题。

我的数学直觉告诉我同伦分析方法确实具有很大潜力。不过，我发现的是，虽然作者廖世俊一再强调“该方法不仅克服了摄动方法依赖小参数的局限性，而且在逻辑上包含了其他非摄动方法，如Lyapunov人工小参数法、Adomian分解法和δ展开法”，但是我觉得同伦分析方法本质上还是属于摄动法，它只不过是一种人工小参数的变式，其处理技巧则几乎是跟摄动法完全一样的。作者最成功的工作，是将这个技巧发展为一个相对比较系统的处理方法，并证明了相关性质（如收敛性）。因此对作者过度“神化”这种方法的做法并不十分赞同。

不论如何，我相信作者是首先独立提出这个成果的，因此我也不想诟病什么，反之，我很高兴能够看到并使用这个方法，下面将给出我对单摆运动的简单研究成果（仅仅精确到$\theta_0^5$）：

任意单摆运动方程都可以适当选取量纲变为：
$$\ddot{\theta}+\sin\theta=0$$
初始角为$\theta_0$

近似的级数解为：
$$\theta= \left( \theta_0+\frac{\theta_0^3}{192}+\frac{17 \theta_0^5}{61440}\right) Cos(\omega t)-\left(\frac{1}{192}\theta_0^3+\frac{1}{3072}\theta_0^5 \right) Cos(3\omega t)+\frac{\theta_0^5 Cos (5 \omega t)}{20480}$$

其中
$$\omega=1-\frac{1}{16}\theta_0^2+\frac{1}{3072}\theta_0^4-...$$

其周期为：
$$T=2\pi(1+\frac{1}{16}\theta_0^2+\frac{11}{3072}\theta_0^4+...)$$

该级数解满足当$t=0$时$\theta=\theta_0$以及$t=\frac{\pi}{2\omega}=\frac{T}{4}$时$\theta=0$。不过，该解虽然摆脱了对t很小的依赖，但是并没有摆脱对$\theta_0$很小这一依赖，幸运的是，对于现实情况来说，$\theta_0$一般都很比较小的（就算90度的直角也只是$\frac{\pi}{2} =1.57...$，略大于1）。因此收敛性通常是可以保证的。当然，更好的办法是将$\theta_0$的幂级数改为展开成$sin\frac{\theta_0}{2}$的幂级数，就像我们以前处理单摆周期一样。这还在探索中。

精确的级数解应该是这样的形式：
$$\theta= a_1 (\theta_0) Cos(\omega t)+a_3 (\theta_0) Cos(3\omega t)+a_5 (\theta_0) Cos(5\omega t) +...$$

其中$a_1 (\theta_0),a_3 (\theta_0),a_5 (\theta_0),...$都是$\theta_0$的无穷级数，理想的情况下会是$sin\frac{\theta_0}{2}$的无穷级数...

先把结果放在这里，希望能够与大家共乐！至于详细的推导过程及同伦分析法的细节，我将会在以后的文章介绍到。

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