16 Feb

带点电荷的均匀杆

在讨论了倒立单摆的相关分析之后,胡雄大哥(笔者的一位好友)提出了一个问题:一根均匀杆,当然质量不可忽略,只有一个力(简单起见,可以先假设为恒力)作用在其中一个点上(简单起见,可以假设为端点),那么杆是怎么运动的?

其实笔者学了不少的经典力学,也分析了不少问题,但就是对于力矩、角动量等还是模模糊糊的,对于我来说,大多数经典力学问题就是“作用量+变分”,本题也不例外。为了让题目的实验意义更加明确,不妨将题目改成:

一根中性的均匀杆,它的一个端点带有一个点电荷,那么它(仅仅)在一个均匀电场中的运动是怎样的?

在这里,我们进一步简化,只考虑平面问题。杆属于刚体,为了描述杆的运动,我们需要描述杆上一点的运动,以及杆绕这一点的转动,也就是说,即使只考虑平面的情况,该系统也是有三个自由度的。设杆的带电荷那一端点的坐标为$(x,y)$,为了描述杆的转动,以这一端点为中心建立极坐标系,设杆的极角为$\theta$。设电势的函数为$U(x,y)$,因为只有一点带电(受力),因此势能是简单的。

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12 Feb

漫谈几何量子化

在查找量子化有关资料的时候,笔者查找到了一系列名为《漫谈几何量子化》的文章,并进一步查询得知,作者为季候风,原来发表在繁星客栈(顺便提一下,繁星客栈是最早的理论物理论坛之一,现在已经不能发帖了,但是上面很多资料都弥足珍贵),据说这是除正则量子化和路径积分量子化外的第三种量子化方法。网上鲜有几何量子化的资料,更不用说是中文资料了,于是季候风前辈的这一十五篇文章便显得格外有意义了。

然而,虽然不少网站都转载了这系列文章,但是无一例外地,文章中的公式图片已经失效了,后来笔者在百度网盘那找到其中的十四篇pdf格式的(估计是网友在公式图片失效前保存下来的),笔者通过替换公式服务器的方式找回了第十五篇,把第十五篇也补充进去了。(见漫谈几何量子化(原文档).zip

虽然这样已经面前能够阅读了,但是总感觉美中不足,虽然笔者花了三天时间把文章重新用$\LaTeX$录入了,主要是把公式重新录入了,简单地排版了一下。现放出来与大家分享。

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7 Feb

视频演示:费曼的茶杯

为了形象地展示为什么有些系统需要旋转720度而不是360度才能恢复原状,费曼想到了一个“茶杯法”。看了“茶杯法”的步骤之后,我突然想起了电影《太极1》的梁小龙的一个端药镜头,正好对应着费曼的“茶杯法”,遂把镜头剪了出来,供大家欣赏。

请仔细观察梁小龙的手转了多少圈?

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5 Jan

不确定性原理的矩阵形式

作为量子理论的一个重要定理,不确定性原理总是伴随着物理意义出现的,但是从数学的角度来讲,把不确定性原理的数学形式抽象出来,有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中,我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是,不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中,厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵;而所谓厄密矩阵,就是一个矩阵同时取共轭和转置之后,等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况,那就是n维实矩阵,n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个n维单位向量,即$|\boldsymbol{x}|=1$,而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中,$\boldsymbol{x}$就是波函数,但是在这里,它只不过是一个单位实向量;并记$\boldsymbol{I}$是n阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出,这些量对应着可观测量的期望值。当然,如果不懂量子力学,可以只看上面的矩阵形式。

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29 Dec

有质动力:倒立单摆的稳定性

前几天在“宇宙的心弦”浏览网页时,发现他更新了一篇很有趣的文章,叫《倒立单摆的稳定性与Ponderomotive Force》(果然,物理系的能接触到各种各样有趣的现象),里边谈到通过施加一个运动在单摆上面,倒立的单摆也可以是稳定的。这勾起了我的兴趣,遂也计算了一番。

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15 Nov

力学系统及其对偶性(三)

在上一篇文章中,我已经初步地从最小作用量原理的角度来观察对偶定律的表现。虽然那是一种便捷有效的方法,但是还是给我们流下了一些遗憾。上一节是从几何形式的作用量原理出发的,而没有在一般形式的作用量框架下讨论。因为如果在$S=\int Ldt=\int (T-U)dt$的形式下讨论坐标变换问题会出现困难,困难源于我们进行了变换$d\tau=|z|^2 dt$,这导致了时间和空间的耦合,变分不能简单地进行。但是,这并非无法解决的问题。我们还是可以在基本的作用量原理之下讨论变换问题。下面将对此问题进行讨论。

变分中的变量代换

考虑一个一般的保守系统的作用量:
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\frac{dq}{dt})dt$$

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14 Nov

力学系统及其对偶性(二)

如果仅仅从牛顿第二定律的角度来进行变换推导,那么关于力学定律的对偶性的结果无疑仅仅是初等的。对于理论分析来说,更方便的是从做小作用量原理的形式出发,事实上,这种形式计算量也是很少的,甚至比直接代入运动方程变换更加便捷。

上一篇文章中我们讲到,变换$z \mapsto z^2$将一个原点为几何中心的椭圆映射为一个原点为焦点的椭圆,并且相信这种变换可以将胡克定律跟牛顿万有引力定律联系起来。然后就立即给出了变换$w=z^2,d\tau=|z^2|dt$。但是这个变换本身并不显然的,假如我们仅仅发现了$z \mapsto z^2$的几何意义,如何相应地得出$d\tau=|z^2|dt$这个变换呢?本文初步地解决这个问题。

几何作用量

让我们回顾力学的最小作用量原理:
$$ S = \int_{{t_1}}^{{t_2}} L dt = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {(T - U)} dt $$

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8 Nov

力学系统及其对偶性(一)

写在前头

经过两年多的开发,本站所用的Typecho终于发布了新版,虽然还是beta,但是我还是迫不及待地升级了。当然,前台并没有变化,但是几乎整个程序都是重构了的,后台也更加清爽了。本文是新版程度的第一篇文章,使用Markdowm语法编写。

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牛顿Vs胡克

在所有的力学系统中,最简单的或许就是简谐运动了。它由一个最简单的常系数线性微分方程组描述:
$$\ddot{\boldsymbol{x}}+\omega^2 \boldsymbol{x}=0$$

这也就是物体在弹性形变的胡克定律所描述的力的作用下的运动情况。我们可以很快用三角函数写出该方程的精确解。相比之下,二体问题的解就复杂多了,虽然二体问题也是精确可解的,但是显然没有简谐运动那样简单明了。然而,除了都是有心力之外,它们之间还有一个共同点,它们的运动轨道都是椭圆!(严格来说是圆锥曲线,因为还可能有抛物线跟双曲线,但是不失一般性,本文只分析椭圆轨道)两者之间是否存在着某种联系呢?如果可以将二体问题转变为简谐运动,那么分析过程应该可以大大化简了?

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