采样定理：有限个点构建出整个函数

假设我们在听一首歌，那么听完这首歌之后，我们实际上在做这样的一个过程：耳朵接受了一段时间内的声波刺激，从而引起了大脑活动的变化。而这首歌，也就是这段时间内的声波，可以用时间$t$的函数$f(t)$描述，这个函数的区间是有限的，比如$t\in[0,T]$。接着假设另外一个场景——我们要用电脑录下我们唱的歌。这又是怎样一个过程呢？要注意电脑的信号是离散化的，而声波是连续的，因此，电脑要把歌曲记录下来，只能对信号进行采样记录。原则上来说，采集的点越多，就能够越逼真地还原我们的歌声。可是有一个问题，采集多少点才足够呢？在信息论中，一个著名的“采样定理”（又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理）告诉我们：只需要采集有限个样本点，就能够完整地还原我们的输入信号来！

采集有限个点就能够还原一个连续的函数？这是怎么做到的？下面我们来解释这个定理。

任意给定一个函数，一般来说我们都可以将它做傅里叶变换：
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{i\omega t}dt\tag{1}$$
虽然我们的积分限写了正负无穷，但是由于$f(t)$是有限区间内的函数，所以上述积分区间实际上是有限的。上式的逆变换为
$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{2}$$

现在我们来问：傅里叶变换的意义是什么？事实上，它是同一个函数在时域和频域之间的相互变换，通俗地说，刚开始的声波，我们是用时间的函数来描述的，傅里叶变换之后，其自变量就是频率了，即变换后的函数告诉我们，原来的声波是哪些频率的简谐波的叠加。于是我们就到达了关键的一步了，变换之后的频率范围可能是有限的，即在某个区间$[-W,W]$之外，$F(\omega)$恒为0.

让我们来解释一下为什么会有这种现象发生。这种现象的出现，有可能是本质性的，即变换后的函数，真的在某个区间$[-W,W]$之外$F(\omega)$就恒为0，但是，更多的是另外一个情况——我们能接收的频率是有限的。比如，我们耳朵可以听到的声音的频率范围在20到2万赫兹（Hz）之间，那么，在录制声音的时候，我们干嘛要在乎小于20Hz或者大于2万Hz的那部分声音呢？图像也是类似的，我们能看到的电磁波、即可见光的频率，也有一个范围。也就是说，我们在录制一首歌的时候，只要让我们听起来一模一样就行了，不用管它是不是真的一模一样。（如果换一种设备，比如超声波探测仪，我们就可能发现它跟原来的声波不一样的地方，但是我们听歌的时候，哪会去留意超声波探测仪的感觉呢？）

基于上述讨论，我们就可以将$(2)$式的积分截断了
$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} F(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{3}$$

注意，现在$F(\omega)$仅仅是$[-W,W]$上的函数了，而有限区间上的函数，可以变换为傅里叶级数（要注意，这里是傅里叶级数，不是傅里叶变换）：
$$F(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{n\pi i\omega/W} \tag{4}$$
接着把$(4)$代入$(3)$，并交换积分号和求和号，得到
$$\begin{aligned}f(t)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} \left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{n\pi i\omega/W}\right)e^{-i\omega t}d\omega\\ =&\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\int_{-W}^{W} e^{n\pi i\omega/W-i\omega t}d\omega\\ =&\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\left.\frac{e^{n\pi i\omega/W-i\omega t}}{i(n\pi /W- t)}\right|_{-W}^W\\ =&\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\frac{2\sin(n\pi -W t)}{n\pi /W- t}\\ =&\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left(\frac{c_n W}{\pi}\right)\frac{\sin(n\pi -W t)}{n\pi - Wt} \end{aligned}\tag{5}$$
现在可以来确定每个$c_n$了，我们看到$c_n$跟$t$无关，我们可以取特殊值，即取$t\to \frac{n\pi}{W}$，然后就可以得出：
$$\frac{c_n W}{\pi}=f\left(\frac{n\pi}{W}\right)$$
也就是
$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f\left(\frac{n\pi}{W}\right)\frac{\sin(n\pi -W t)}{n\pi - Wt}\tag{6}$$
注意到$f(t)$是定义在有限区间内的，当$|n|$足够大的时候$f\left(\frac{n\pi}{W}\right)=0$，换句话说，上式实际上是有限项的和！

$(6)$式就是抽样定理的全部了，它告诉我们，只要采集到有限个样本点的值$f\left(\frac{n\pi}{W}\right)$，我们就可以根据$(6)$式完整地还原出$f(t)$来——至少在我们能感知的范围内是一样的。这就是我在《费曼计算学》上学到的东西之一了。

证明过程中的部分细节可能不十分严谨，但如果你是物理系或者工程系的读者，我想应该觉得足够了；如果你是追求严格的数学爱好者，那么请你把它严格化吧。

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