遐思1:n次代数方程的解可以这样表示吗?
By 苏剑林 | 2011-05-28 | 28670位读者 |打从科学空间建立起,就已经设立了“问题百科”这一个分类,但内容一直都很少,主要是平时太懒去总结一些问题。现在得要养成善于思考、总结的习惯了。
前几天到网上印刷了《天遇》和《无法解出的方程》来阅读,两者都是我很感兴趣的书。想当初在初中阶段阅读《数学史选讲》时,我最感兴趣的就是解方程方面的内容(根式解),通过研究理解了1到4次方程的求根公式,并通过阅读知道了4次以上的代数方程没有一般的根式可解。这在当时是多么值得高兴的一件事情!!
现在,稍稍阅读了《无法解出的方程》后,结合我之前在代数方程方面的一些总结,提出一个问题:
若任意的一元n次方程$\sum_{i=0}^{n} a_i x^i=0$的根记为$x_i=R_{n,i}(a_0,a_1,...,a_n)$
那么,是否存在大于3的n,使得任意的一元(n+1)次方程的根能够用加、减、乘、除、幂、开方以及$R_{j,i}$(j可以是1到n的任意整数)通过有限步骤运算出来?
这个问题可以换一个近似但不等价的说法:
若一元1次、2次、...、n次均可以根式解答,那么一元(n+1)次方程能否有根式解?
也就是说,(n+1)次方程的根能够表示成 1到n次方程的根与加、减、乘、除、幂、开方的有限次运算?
(不考虑前提的正确与否,显然n=4已经不成立了,当时n=5,6,7,8,...等有没有可能呢?)
期待有人能够解决^_^
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July 17th, 2015
没听懂问题耶
December 16th, 2019
伽罗瓦用可解群证明过任意的大于四次的方程的根不能够用有限次加、减、乘、除、幂、开方。
一元四次方程是可解的
February 22nd, 2022
答案在群论中,4是最大可解群。