之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题，并且在那文章中向读者提出：在一个质点（地球）引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话，提出这个问题的时候，我还不懂怎么解答这个问题，不过现在会了，回头一看，已经几个月了，时间过得真快...

与之前的思路一样，我们依旧采用的是“平衡态公理”，即总势能最小。从天体力学中我们知道，任意两个质点间的势能为−Gm1m2r。对于本题的悬链线问题，我们可以把地球放到坐标原点位置，而悬链的两个固定点分别为(x1,y1)和(x2,y2)，链的总长度为l。即
∫x2x1√dx2+dy2=l

设悬链的线密度为1（无量纲处理，长度即质量）。那么悬链上的点(x,y)到(x+dx,y+dy)一小段的引力势能可以记为
dE=−GM√dx2+dy2√x2+y2

总势能显然是E=−GM∫x2x1√dx2+dy2√x2+y2

选取适当的坐标对被积函数进行化简是很必要的，我们采取极坐标系：
√dx2+dy2√x2+y2=√r2dθ2+dr2r=√r2˙θ2+1rdr

其中˙θ=dθdr

于是E=−GM∫r2r1√r2˙θ2+1rdr=−GM∫r2r1F(˙θ,r)dr

代入拉格朗日方程就得到（将r看成自变量，θ作为函数）：
0=∂F∂θ=ddr(∂F∂˙θ)=ddr(r˙θ√r2˙θ2+1)

于是积分得到r˙θ√r2˙θ2+1=Const

并且化简得到：r2˙θ2=C21(C1>0)

要求C1>0只是为了描述上的方便，即±˙θ=C1r⇒C2±θ=C1lnr

我们约定，在θ=C1lnr−C2<0时，上面去负号，反之取正号，则可以写成：
C2+|θ|=C1lnr

可以进一步化简成r=AeB|θ|的形式。其形状如下图：

新悬链线

新悬链线

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苏剑林. (May. 15, 2011). 《地球引力场的悬链线方程 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1361

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        title={地球引力场的悬链线方程},
        author={苏剑林},
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        month={May},
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