之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题,并且在那文章中向读者提出:在一个质点(地球)引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话,提出这个问题的时候,我还不懂怎么解答这个问题,不过现在会了,回头一看,已经几个月了,时间过得真快...

与之前的思路一样,我们依旧采用的是“平衡态公理”,即总势能最小。从天体力学中我们知道,任意两个质点间的势能为Gm1m2r。对于本题的悬链线问题,我们可以把地球放到坐标原点位置,而悬链的两个固定点分别为(x1,y1)(x2,y2),链的总长度为l。即
x2x1dx2+dy2=l

设悬链的线密度为1(无量纲处理,长度即质量)。那么悬链上的点(x,y)到(x+dx,y+dy)一小段的引力势能可以记为
dE=GMdx2+dy2x2+y2

总势能显然是E=GMx2x1dx2+dy2x2+y2

选取适当的坐标对被积函数进行化简是很必要的,我们采取极坐标系:
dx2+dy2x2+y2=r2dθ2+dr2r=r2˙θ2+1rdr

其中˙θ=dθdr

于是E=GMr2r1r2˙θ2+1rdr=GMr2r1F(˙θ,r)dr

代入拉格朗日方程就得到(将r看成自变量,θ作为函数):
0=Fθ=ddr(F˙θ)=ddr(r˙θr2˙θ2+1)

于是积分得到r˙θr2˙θ2+1=Const

并且化简得到:r2˙θ2=C21(C1>0)

要求C1>0只是为了描述上的方便,即±˙θ=C1rC2±θ=C1lnr

我们约定,在θ=C1lnrC2<0时,上面去负号,反之取正号,则可以写成:
C2+|θ|=C1lnr

可以进一步化简成r=AeB|θ|的形式。其形状如下图:

新悬链线

新悬链线

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苏剑林. (May. 15, 2011). 《地球引力场的悬链线方程 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1361

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        title={地球引力场的悬链线方程},
        author={苏剑林},
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        month={May},
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