力学系统及其对偶性（二）

如果仅仅从牛顿第二定律的角度来进行变换推导，那么关于力学定律的对偶性的结果无疑仅仅是初等的。对于理论分析来说，更方便的是从做小作用量原理的形式出发，事实上，这种形式计算量也是很少的，甚至比直接代入运动方程变换更加便捷。

上一篇文章中我们讲到，变换$z \mapsto z^2$将一个原点为几何中心的椭圆映射为一个原点为焦点的椭圆，并且相信这种变换可以将胡克定律跟牛顿万有引力定律联系起来。然后就立即给出了变换$w=z^2,d\tau=|z^2|dt$。但是这个变换本身并不显然的，假如我们仅仅发现了$z \mapsto z^2$的几何意义，如何相应地得出$d\tau=|z^2|dt$这个变换呢？本文初步地解决这个问题。

几何作用量

让我们回顾力学的最小作用量原理：
$$S = \int_{{t_1}}^{{t_2}} L dt = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {(T - U)} dt$$

这里只考虑保守系统，其中$T=\frac{1}{2} m |\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}|^2$是系统的动能，而$U=U(\boldsymbol{x})$则是势能。并且不难发现，在拉格朗日函数L中加上一个常数，所有的运动信息和轨道信息都不会改变，因此出于一般性考虑，我们写：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} Ldt=\int_{t_1}^{t_2} (T-U+c)dt$$

看完了本文之后，读者就可以明白我们为什么要这样考虑了。鉴于我们只关注轨道的形状，上述的作用量是不适合的。它涉及到了时间，利用能量守恒定律
$$E=T+U=\frac{1}{2} m |\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}|^2+U$$

我们可以将作用量改写为只包含轨道信息的形式。首先注意到$L=T-U+c=(E+c)-2U$，而$dt=\sqrt{\frac{m}{2(E-U)}}|d\boldsymbol{x}|$，所以作用量可以写成
$$S=\int \frac{(E+c)-2U}{\sqrt{2(E-U)/m}}|d\boldsymbol{x}|$$

这基本上就是1837年雅可比得到的结果，这是具有几何学性质的最小作用量原理，它将动力学问题转化为了几何学问题，这和相对论中的度规思想是一致的。不过在此我们不作延伸，而是回到我们的力学对偶问题。

对偶的作用量

我们还是采用复数作为工具，简谐运动的作用量可以写为：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} Ldt=\int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}m (|\frac{dz}{dt}|^2-\omega^2 |z|^2)dt$$

其中能量守恒为$|\frac{dz}{dt}|^2+\omega^2 |z|^2=2E$用几何形式的作用量，即
$$S=\int \frac{E-\omega^2 |z|^2}{\sqrt{2(E-\frac{1}{2}\omega^2 |z|^2)/m}}|dz|$$

作代换$w=z^2$，那么$|dz|=\frac{|dw|}{2\sqrt{|w|}}$，所以
$$S=\int \frac{E-\omega^2 |w|}{\sqrt{2(E-\frac{1}{2}\omega^2 |w|)/m}}(\frac{|dw|}{2\sqrt{|w|}})=\int \frac{E|w|^{-1}-\omega^2 }{\sqrt{2(E|w|^{-1}-\frac{1}{2}\omega^2 )/m}}|dw|$$

我们知道，常数因子不会影响变分的结果，即
$$S=(\frac{-1}{2i})\int \frac{(\frac{1}{2} \omega^2+\frac{3}{2} \omega^2) -2E|w|^{-1} }{\sqrt{2(\frac{1}{2}\omega^2 -E|w|^{-1})/m}}|dw|$$

忽略掉常数$(\frac{-1}{2i})$，对比$S=\int \frac{(E+c)-2U}{\sqrt{2(E-U)/m}}|d\boldsymbol{x}|$，不难发现这就是$c\mapsto \frac{3}{2} \omega^2,E\mapsto \frac{1}{2} \omega^2,U\mapsto E|w|^{-1}$的作用量，因此我们说，变换$w=z^2$将胡克定律的力学变换成万有引力定律的力学。

注意到$dt=\frac{|d\boldsymbol{x}|}{\sqrt{2(E-U)/m}}$，我们设$t\mapsto \tau$，则应当有$d\tau= \frac{|dw|}{\sqrt{2(\frac{1}{2}\omega^2 -E|w|^{-1})/m}}$，于是可以计算$d\tau \propto |w|dt$。

至于在上一篇文章谈到的其它幂的有心力场的对偶定律也可以类似地验证，这并没有实质上的困难。而且读者亲自演算之后就会发现，采用这种方法，我们很快可以计算出某个有心力场的对偶定律是多少次幂的，也可以相应地发现其轨道映射$z\mapsto z^{\alpha}$的$\alpha$值。相比代入牛顿第二定律进行验证，作用量的方法还显得更为简单。并且可以发现，这些结果都可以推广的，因为它本质上只是利用了两点：

1、复数与平面向量对应；
2、$|z_1 z_2|=|z_1| |z_2|$。

这都是四元数、八元数的基本性质，因此这些结论都可以轻松地推广到高维。

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