悬链.jpg约翰与他同时代的110位学者有通信联系,进行学术讨论的信件约有2500封,其中许多已成为珍贵的科学史文献,例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线(即旋轮线)和等周问题的通信讨论,虽然相互争论不断,特别是约翰雅各布互相指责过于尖刻,使兄弟之间时常造成不快,但争论无疑会促进科学的发展,最速降线问题就导致了变分法的诞生。

有意思的是,1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出过悬链线问题向数学界征求答案。即:

固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,求项链的曲线方程.


吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,电杆间的电线都是悬链线。伽利略最早注意到悬链线,猜测悬链线是抛物线。1691年莱布尼兹、惠更斯以及约翰·伯努利各自得到正确答案,所用方法是诞生不久的微积分。

《自然极值》系列我们已经了解到的一些知识,我们尝试对这个问题进行解答。无疑,“悬链”已经达到了平衡状态,这时我们可以认为它的重力势能已经达到最小。虽然这有点“想当然”的感觉,但是生活经验告诉我们这是必然的,因为平衡态公理告诉我们,势能最小必定平衡,而悬链线只能有一种平衡状态。

既然认为它的重力势能已经达到最小,那么问题就变成了求固定周长的曲线中其重力势能最小的一条,这和前边的“最速降线”问题一样,属于变分的范畴。所以说,最速降线和悬链线问题在本质上是一致的。

设曲线的形状为$y=y(x)$,x轴就是地面。设悬链是均匀的,线密度为1,这每一小段$ds=\sqrt{dy^2+dx^2}$的质量为$dm=ds=\sqrt{dy^2+dx^2}$,同时,它的高度为y,所以这一部分的重力势能为$dE_p=gy dm=gy\sqrt{dy^2+dx^2}=gy\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$。同样,由于纯粹为了探讨曲线形状,令g=1.于是问题变成了求令
$\int_{x_1}^{x_2} y\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$
为极小值的函数y(x)。

在本系列的第六篇文章中,我们曾导出了一条公式(1)

$v^2(1+\dot{y}^2)=Const$————(1)

并指出了当v的表达式中仅仅显含y时,满足
$t=\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{v}$
取最小值的函数由(1)式算出。

那么对于本题,可以令$v=\frac{1}{y}$,代入(1),就得到$\frac{1+\dot{y}^2}{y^2}=C$

并可以化为$dx=\frac{1}{\sqrt{C}}\frac{d(\sqrt{C}y)}{\sqrt{(\sqrt{C}y)^2-1}}$,积分得(这里有积分公式,将曲线放到第一象限,因而x,y均为正数。)
$x=\frac{1}{\sqrt{C}}ln|\sqrt{C}y+\sqrt{Cy^2-1}|+C_2=\frac{1}{\sqrt{C}}arcosh(\sqrt{C}y)+C_2$

数学家更喜欢用最右边的形式(双曲函数)来描述这一形状。进行适合的设置(就是平移该曲线,改变初始点的位置),使$C_2=0$。可以化简得到
$y=\frac{1}{\sqrt{C}}cosh(\sqrt{C}x)$
这就是最终的悬链线方程。最后只有把悬链的长度拟合就行。这步工作留给读者思考一下^_^

读者还可以思考一下一个相对复杂的问题:

要是有一根足够大的悬链,直径长达地球半径,那么悬链的形状是怎样的?也就是说重力场不再均匀,只考虑地球引力。


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到现在“《自然极值》系列”已经接近尾声了,接下来我们要做一些纯分析的工作。虽然这比较枯燥,但这是无法避免的。因为一些分析的工作能够让我们更清晰地了解问题的本质,并引导我们向正确的方向前进,而不至于过度陶醉于表象上的美而无法自拔。通过下面的分析,我们将了解到求极值的一般思想,从中我们可以推导出变分学的一道基本方程——欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation)


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