解决完上一题《有多少个5？》后，子瑞表示看到一道类似的题目，当然，这道题比上一道难一些：

一个数，各个数字加起来等于900，乘以2后各个数字加起来还是等于900，已知这个数字只有3、4、5、6组成，请问满足条件的最大数与最小数的积有多少位数？

要解答这个问题，我们只需要知道最大数和最小数分别有多少位即可。因为最大数必然是6...3的形式，而最小数只能是3...6的形式，它们的位数之和就是所求的位数。

怎样比较两个数的大小呢？显然，在不同位数的数时，位数多的数要大，同样位数才从高到低逐位比较。因此，我们应当考虑位数的最大与最小。

设这个数有a个3、b个4、c个5和d个6，由已知条件得：
$$3a+4b+5c+6d=900\tag{1}$$$$6a+8b+c+3d=900\tag{2}$$
并记$s=a+b+c+d$，s就是总位数。要求s的最大值跟最小值。在这里，由于有两个等式，因此变量a、b、c、d只有两个是独立的，并且由于题目本身的限制，它们只能够是正整数。因此本题是一道简单的线性规划以及数论问题。

$(1) \times 2-(2)$得：
$$c+d=100$$
由此得c跟d不是独立的，那么a与b也不是独立的。

$(1)+(2)$得：
$$3a+4b+2c+3d=600$$

即$s=200+\frac{c-b}{3}$

由上述推理得c、b是独立的。因此要求最大的s，不妨试探性取b=1，c=97；代入可以发现存在a=131这个合理的解。那么答案就出来了，最大的s是232.

同理，要求最小的s，不妨试探性地取c=1，那么d=99，代入$3a+4b+2c+3d=600$得到
$$3a+4b=301$$

取最大的b，当a=3时，b=73；再代入$s=200+\frac{c-b}{3}$，正好得到整数s=176.

我们有理由相信，最小的s就是176了。当然，如果你还不放心，可以试探性取c=2，看看得到的结果如何？也不必取到c=3、4等等去试探了，因为整体来讲，c的增大会导致b的减少，这样一来，c-b反而变大了。

因此我们知道最终答案就是：232+176=408！一开始题目所求的位数！

转载到请包括本文地址：https://spaces.ac.cn/archives/1922

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Feb. 21, 2013). 《[问题解答]有多少位数字？ 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1922

@online{kexuefm-1922,
        title={[问题解答]有多少位数字？},
        author={苏剑林},
        year={2013},
        month={Feb},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/1922}},
}