科学空间|Scientific Spaces

今天给大家介绍一篇1962年的论文《Computer Multiplication and Division Using Binary Logarithms》，作者是John N. Mitchell，他在里边提出了一个相当有意思的算法：在二进制下，可以完全通过加法来近似完成两个数的相乘，最大误差不超过1/9。整个算法相当巧妙，更有意思的是它还有着非常简洁的编程实现，让人拍案叫绝。然而，笔者发现网上居然找不到介绍这个算法的网页，所以在此介绍一番。

你以为这只是过时的玩意？那你就错了，前不久才有人利用它发了一篇NeurIPS 2020呢！所以，确定不来了解一下吗？

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大家都知道，目前的主流的BERT模型最多能处理512个token的文本。导致这一瓶颈的根本原因是BERT使用了从随机初始化训练出来的绝对位置编码，一般的最大位置设为了512，因此顶多只能处理512个token，多出来的部分就没有位置编码可用了。当然，还有一个重要的原因是Attention的$\mathcal{O}(n^2)$复杂度，导致长序列时显存用量大大增加，一般显卡也finetune不了。

位置编码的层次分解示意图

本文主要面向前一个原因，即假设有足够多的显存前提下，如何简单修改当前最大长度为512的BERT模型，使得它可以直接处理更长的文本，主要思路是层次分解已经训练好的绝对位置编码，使得它可以延拓到更长的位置。

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尽管Transformer类的模型已经攻占了NLP的多数领域，但诸如LSTM、GRU之类的RNN模型依然在某些场景下有它的独特价值，所以RNN依然是值得我们好好学习的模型。而对于RNN梯度的相关分析，则是一个从优化角度思考分析模型的优秀例子，值得大家仔细琢磨理解。君不见，诸如“LSTM为什么能解决梯度消失/爆炸”等问题依然是目前流行的面试题之一...

经典的LSTM

关于此类问题，已有不少网友做出过回答，然而笔者查找了一些文章（包括知乎上的部分回答、专栏以及经典的英文博客），发现没有找到比较好的答案：有些推导记号本身就混乱不堪，有些论述过程没有突出重点，整体而言感觉不够清晰自洽。为此，笔者也尝试给出自己的理解，供大家参考。

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不管是打比赛、做实验还是搞工程，我们经常会遇到训练集与测试集分布不一致的情况。一般来说我们会从训练集中划分出来一个验证集，通过这个验证集来调整一些超参数（参考《训练集、验证集和测试集的意义》），比如控制模型的训练轮数以防止过拟合。然而，如果验证集本身跟测试集差别比较大，那么验证集上很好的模型也不代表在测试集上很好，因此如何让划分出来验证集跟测试集的分布差异更小一些，是一个值得研究的题目。

两种情况

首先，明确一下，本文所考虑的，是能给拿到测试集数据本身、但不知道测试集标签的场景。如果是那种提交模型封闭评测的场景，我们完全看不到测试集的，那就没什么办法了。为什么会出现测试集跟训练集分布不一致的现象呢？主要有两种情况。

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L2正则是机器学习常用的一种防止过拟合的方法（应该也是一道经常遇到的面试题）。简单来说，它就是希望权重的模长尽可能小一点，从而能抵御的扰动多一点，最终提高模型的泛化性能。但是读者可能也会发现，L2正则的表现通常没有理论上说的那么好，很多时候加了可能还有负作用。最近的一篇文章《Improve Generalization and Robustness of Neural Networks via Weight Scale Shifting Invariant Regularizations》从“权重尺度偏移”这个角度分析了L2正则的弊端，并提出了新的WEISSI正则项。整个分析过程颇有意思，在这里与大家分享一下。

相关内容

这一节中我们先简单回顾一下L2正则，然后介绍它与权重衰减的联系以及与之相关的AdamW优化器。

L2正则的理解

为什么要添加L2正则？这个问题可能有多个答案。有从Ridge回归角度回答的，有从贝叶斯推断角度回答的，这里给出从扰动敏感性的角度的理解。

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最近了解到一种称为“BERT-of-Theseus”的BERT模型压缩方法，来自论文《BERT-of-Theseus: Compressing BERT by Progressive Module Replacing》。这是一种以“可替换性”为出发点所构建的模型压缩方案，相比常规的剪枝、蒸馏等手段，它整个流程显得更为优雅、简洁。本文将对该方法做一个简要的介绍，给出一个基于bert4keras的实现，并验证它的有效性。

BERT-of-Theseus，原作配图

模型压缩

首先，我们简要介绍一下模型压缩。不过由于笔者并非专门做模型压缩的，也没有经过特别系统的调研，所以该介绍可能显得不专业，请读者理解。

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众所周知，尽管基于Attention机制的Transformer类模型有着良好的并行性能，但它的空间和时间复杂度都是$\mathcal{O}(n^2)$级别的，$n$是序列长度，所以当$n$比较大时Transformer模型的计算量难以承受。近来，也有不少工作致力于降低Transformer模型的计算量，比如模型剪枝、量化、蒸馏等精简技术，又或者修改Attention结构，使得其复杂度能降低到$\mathcal{O}(n\log n)$甚至$\mathcal{O}(n)$。

前几天笔者读到了论文《Transformers are RNNs: Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention》，了解到了线性化Attention（Linear Attention）这个探索点，继而阅读了一些相关文献，有一些不错的收获，最后将自己对线性化Attention的理解汇总在此文中。

Attention

当前最流行的Attention机制当属Scaled-Dot Attention，形式为
\begin{equation}Attention(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V}) = softmax\left(\boldsymbol{Q}\boldsymbol{K}^{\top}\right)\boldsymbol{V}\label{eq:std-att}\end{equation}
这里的$\boldsymbol{Q}\in\mathbb{R}^{n\times d_k}, \boldsymbol{K}\in\mathbb{R}^{m\times d_k}, \boldsymbol{V}\in\mathbb{R}^{m\times d_v}$，简单起见我们就没显式地写出Attention的缩放因子了。本文我们主要关心Self Attention场景，所以为了介绍上的方便统一设$\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{K}, \boldsymbol{V}\in\mathbb{R}^{n\times d}$，一般场景下都有$n > d$甚至$n\gg d$（BERT base里边$d=64$）。

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不少读者最近可能留意到了公众号文章《BERT重计算：用22.5%的训练时间节省5倍的显存开销（附代码）》，里边介绍了一个叫做“重计算”的技巧，简单来说就是用来省显存的方法，让平均训练速度慢一点，但batch_size可以增大好几倍。该技巧首先发布于论文《Training Deep Nets with Sublinear Memory Cost》，其实在2016年就已经提出了，只不过似乎还没有特别流行起来。

探索

公众号文章提到该技巧在pytorch和paddlepaddle都有原生实现了，但tensorflow还没有。但事实上从tensorflow 1.8开始，tensorflow就已经自带了该功能了，当时被列入了tf.contrib这个子库中，而从tensorflow 1.15开始，它就被内置为tensorflow的主函数之一，那就是tf.recompute_grad。

找到tf.recompute_grad之后，笔者就琢磨了一下它的用法，经过一番折腾，最终居然真的成功地用起来了，居然成功地让batch_size从48增加到了144！然而，在继续整理测试的过程中，发现这玩意居然在tensorflow 2.x是失效的...于是再折腾了两天，查找了各种资料并反复调试，最终算是成功地补充了这一缺陷。

最后是笔者自己的开源实现：

Github地址：https://github.com/bojone/keras_recompute

该实现已经内置在bert4keras中，使用bert4keras的读者可以升级到最新版本（0.7.5+）来测试该功能。

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