科学空间|Scientific Spaces

在这篇文章中，我们将探讨一个被称为“梯度流（Gradient Flow）”的概念。简单来说，梯度流是将我们在用梯度下降法中寻找最小值的过程中的各个点连接起来，形成一条随（虚拟的）时间变化的轨迹，这条轨迹便被称作“梯度流”。在文章的后半部分，我们将重点讨论如何将梯度流的概念扩展到概率空间，从而形成“Wasserstein梯度流”，为我们理解连续性方程、Fokker-Planck方程等内容提供一个新的视角。

梯度下降

假设我们想搜索光滑函数$f(\boldsymbol{x})$的最小值，常见的方案是梯度下降（Gradient Descent），即按照如下格式进行迭代：
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t+1} = \boldsymbol{x}_t -\alpha \nabla_{\boldsymbol{x}_t}f(\boldsymbol{x}_t)\label{eq:gd-d}\end{equation}
如果$f(\boldsymbol{x})$关于$\boldsymbol{x}$是凸的，那么梯度下降通常能够找到最小值点；相反，则通常只能收敛到一个“驻点”——即梯度为0的点，比较理想的情况下能收敛到一个极小值（局部最小值）点。这里没有对极小值和最小值做严格区分，因为在深度学习中，即便是收敛到一个极小值点也是很难得的了。

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2009年10月31日12:43分，在这个本该狂欢的万圣节之日，我们听到了痛心的消息：科学巨星钱学森在北京逝世永远合上了眼睛。一颗明星陨落了！

相信很快，这条消息就会登上各大网站的首页，等在各大报刊的专版。为什么这位老人的离去能够引起如此巨大的轰动呢？钱学森，这位在小学作文中就引用到他的事例的人，究竟为我们带来了什么？

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相信近一年来（尤其是近半年来），大家都能很频繁地看到各种Transformer相关工作（比如Bert、GPT、XLNet等等）的报导，连同各种基础评测任务的评测指标不断被刷新。同时，也有很多相关的博客、专栏等对这些模型做科普和解读。

单向语言模型图示。每预测一个token，只依赖于前面的token。

俗话说，“外行看热闹，内行看门道”，我们不仅要在“是什么”这个层面去理解这些工作，我们还需要思考“为什么”。这个“为什么”不仅仅是“为什么要这样做”，还包括“为什么可以这样做”。比如，在谈到XLNet的乱序语言模型时，我们或许已经从诸多介绍中明白了乱序语言模型的好处，那不妨更进一步思考一下：

为什么Transformer可以实现乱序语言模型？是怎么实现的？RNN可以实现吗？

本文从对Attention矩阵进行Mask的角度，来分析为什么众多Transformer模型可以玩得如此“出彩”的基本原因，正如标题所述“Transformer如戏，全靠Mask”，这是各种花式Transformer模型的重要“门道”之一。

读完本文，你或许可以了解到：

1、Attention矩阵的Mask方式与各种预训练方案的关系；

2、直接利用预训练的Bert模型来做Seq2Seq任务。

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自《Attention is All You Need》一文发布后，基于Multi-Head Attention的Transformer模型开始流行起来，而去年发布的BERT模型更是将Transformer模型的热度推上了又一个高峰。当然，技术的探索是无止境的，改进的工作也相继涌现：有改进预训练任务的，比如XLNET的PLM、ALBERT的SOP等；有改进归一化的，比如Post-Norm向Pre-Norm的改变，以及T5中去掉了Layer Norm里边的beta参数等；也有改进模型结构的，比如Transformer-XL等；有改进训练方式的，比如ALBERT的参数共享等；...

以上的这些改动，都是在Attention外部进行改动的，也就是说它们都默认了Attention的合理性，没有对Attention本身进行改动。而本文我们则介绍关于两个新结果：它们针对Multi-Head Attention中可能存在建模瓶颈，提出了不同的方案来改进Multi-Head Attention。两篇论文都来自Google，并且做了相当充分的实验，因此结果应该是相当有说服力的了。

再小也不能小key_size

第一个结果来自文章《Low-Rank Bottleneck in Multi-head Attention Models》，它明确地指出了Multi-Head Attention里边的表达能力瓶颈，并提出通过增大key_size的方法来缓解这个瓶颈。

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不同于RNN、CNN等模型，对于Transformer模型来说，位置编码的加入是必不可少的，因为纯粹的Attention模块是无法捕捉输入顺序的，即无法区分不同位置的Token。为此我们大体有两个选择：1、想办法将位置信息融入到输入中，这构成了绝对位置编码的一般做法；2、想办法微调一下Attention结构，使得它有能力分辨不同位置的Token，这构成了相对位置编码的一般做法。

虽然说起来主要就是绝对位置编码和相对位置编码两大类，但每一类其实又能衍生出各种各样的变种，为此研究人员可算是煞费苦心、绞尽脑汁了，此外还有一些不按套路出牌的位置编码。本文就让我们来欣赏一下研究人员为了更好地表达位置信息所构建出来的“八仙过海，各显神通”般的编码方案。

绝对位置编码

形式上来看，绝对位置编码是相对简单的一种方案，但即便如此，也不妨碍各路研究人员的奇思妙想，也有不少的变种。一般来说，绝对位置编码会加到输入中：在输入的第$k$个向量$\boldsymbol{x}_k$中加入位置向量$\boldsymbol{p}_k$变为$\boldsymbol{x}_k + \boldsymbol{p}_k$，其中$\boldsymbol{p}_k$只依赖于位置编号$k$。

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大家最近应该多多少少都被各种MLP相关的工作“席卷眼球”了。以Google为主的多个研究机构“奇招频出”，试图从多个维度“打击”Transformer模型，其中势头最猛的就是号称是纯MLP的一系列模型了，让人似乎有种“MLP is all you need”时代到来的感觉。

这一顿顿让人眼花缭乱的操作背后，究竟是大道至简下的“返璞归真”，还是江郎才尽后的“冷饭重炒”？让我们也来跟着这股热潮，一起盘点一些最近的相关工作。

五月人倍忙

怪事天天有，五月特别多。这个月以来，各大机构似乎相约好了一样，各种非Transformer的工作纷纷亮相，仿佛“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”。单就笔者在Arxiv上刷到的相关论文，就已经多达七篇（一个月还没过完，七篇方向极其一致的论文），涵盖了NLP和CV等多个任务，真的让人应接不暇：

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看了标题，可能读者会有疑惑，大家不都想着将大模型缩小吗？怎么你想着将小模型放大了？其实背景是这样的：通常来说更大的模型加更多的数据确实能起得更好的效果，然而算力有限的情况下，从零预训练一个大的模型时间成本太大了，如果还要调试几次参数，那么可能几个月就过去了。

这时候“穷人思维”就冒出来了（土豪可以无视）：能否先训练一个同样层数的小模型，然后放大后继续训练？这样一来，预训练后的小模型权重经过放大后，就是大模型一个起点很高的初始化权重，那么大模型阶段的训练步数就可以减少了，从而缩短整体的训练时间。

那么，小模型可以无损地放大为一个大模型吗？本文就来从理论上分析这个问题。

含义

有的读者可能想到：这肯定可以呀，大模型的拟合能力肯定大于小模型呀。的确，从拟合能力角度来看，这件事肯定是可以办到的，但这还不是本文关心的“无损放大”的全部。

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大家都知道，Transformer的$\mathscr{O}(n^2)$复杂度是它的“硬伤”之一。不过凡事有弊亦有利，$\mathscr{O}(n^2)$的复杂度也为Transformer带来很大的折腾空间，我们可以灵活地定制不同的attention mask，来设计出不同用途的Transformer模型来，比如UniLM、K-BERT等。

本文介绍笔者构思的一个能用于文本的UniVAE模型，它沿用类似UniLM的思路，将VAE做到了一个Transformer模型里边，并且还具备多尺度特性～

UniAE式Attention关联示意图

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