复分析学习1:揭示微分与积分的联系
By 苏剑林 | 2012-08-02 | 34946位读者 |笔者这段时间对复数尤其感兴趣,当然,严格来讲应该是复变函数内容,其中一个原因是通过它,我们可以把一些看似毫不相关的内容联系了起来,体现了数学的简洁美和统一美。我相当有兴趣的其中一个内容是实分析中的泰勒级数和傅里叶级数。这两者都是关于某个函数的级数展开式,其中泰勒级数是用于一般函数展开的,其各项系数通过求n阶导数得到;傅里叶级数的对象是周期函数,其各项系数是通过定积分求得的。在实数世界里,两者毫不相关,但是,复分析却告诉我们:它们只是同一个东西!只是将其在不同的角度“投影”到实数世界里,就产生了不同的“物像”,以至于我们认为它们是不同东西而已。
我们直接来看一个变魔术般的运算:
我们知道,在实数世界里头,我们有
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$,其中$|x| < 1$
现在,让我们不加证明地将它直接延伸到复数世界里边,即把实数x换成复数z。
$$ln(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}+...$$
延伸的证明属于细节内容,而我们学习一个学科首先需要把握主干,把握整体,然后再把枝叶处理好,如果一开始就想把所有问题通通处理得完美无瑕,会严重阻碍我们思考的步伐,同时也可能让我们失去了对数学美的体味。很多时候,出于对“对称美”、“统一美”的追求而作出的类比,往往就已经得出了很多正确的结果,并且让我们赏心悦目。
如果直接类比实数运算规则,我们有$ix=ln(e^{i x})$
那么就有$ix=ln(e^{i x})=ln(\frac{e^{ix}+1}{e^{-ix}+1})=ln(e^{ix}+1)-ln(e^{-ix}+1)$
代入上面的$ln(1+z)$展开式,那么就得到
$$ix=(e^{ix}-e^{-ix})-\frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2}+\frac{e^{3ix}-e^{-3ix}}{3}-\frac{e^{4ix}-e^{-4ix}}{4}+...$$
由公式$e^{i n\theta}=cos n\theta+i sin n\theta$可以得到$sin n\theta=\frac{-i}{2}(e^{i n\theta}-e^{-i n \theta})$,于是上面的公式就可以变成了
$$ix=2i(\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\frac{\sin 4x}{4}+...)$$
即$\frac{1}{2}x=sin x-\frac{sin 2x}{2}+\frac{sin 3x}{3}-\frac{sin 4x}{4}+...$
要注意的是,我们从泰勒级数出发,以复数为纽带,得出了一个函数的傅里叶级数。这不能不说让人非常意外和惊喜,因为在实数世界里,两者的系数分别是通过求导和积分得出来的,这是两种看起来截然不同的运算。如果在复数世界里边,它们真的是同一个内容,那么将会得出一个这样的结论:
复数揭示了微分与积分的一种隐藏的联系!
事实上,这正是复分析里的核心内容!而在以后的文章里,泰勒级数和傅里叶级数将会是我们经常谈到的话题。
文章上边还给予了我们一个思想,要得到一个函数$f(x)$的傅里叶级数展开式,把里边的x换成$x=-i[ln(e^{ix}+1)-ln(e^{-ix}+1)]$,即变成$f(-i[ln(p+1)-ln(q+1)])$的形式,然后将其展开为关于p、q的二元泰勒级数就行了,因为傅里叶级数的系数是用定积分求出来的,这貌似也提供了一种求定积分的简单方法??因为求导数比求积分简单多了......看到这个例子,很多迷人的想法都会冒出来,让我们兴奋不已。但是,事实还没有那么理想。因为我们的目的要展开为$e^{ix}$和$e^{-ix}$的幂的组合,可是仅仅对于$e^{ix}$一项,就有无数个项加起来(任意的$p^{n+1}q^n$项都是$e^{ix}$项)。这里说起来比较麻烦,有兴趣的读者动动手,应该就可以了解个所以然了。
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May 30th, 2013
我认为你能直接阐述为,对展开式代入x=e^ui,然后比较实部虚部。以及你认为这是揭示积分和微分的联系是吧。按照我的计算我认为这是体现了狄利克雷函数n阶导数的一种形式,我在半年前深入研究过
May 31st, 2013
可以这样讲:taylor series是在一个点上的近似,
fourier series是在一个区间上的近似
May 31st, 2013
我并不认同,我更倾向于人认为泰勒级数是在一个圆上的近似,傅里叶级数的均值是在一个区间上的解析近似。而且你说的这些和楼主的东西关系不大,并且楼主显然并没有做广义化的研究,不然楼主也会反映过来这只不过是狄利克雷函数的特点罢了没什么好玩的
那是我去年的研究,那时我还不知道狄利克雷函数为何,而且这和我追求实用性有关;另一方面我所处只是一个小农村,纯粹自学,不深入也不奇怪。