26
Feb
有限Vs无限:无穷电荷板的场|平行板电容
By 苏剑林 | 2011-02-26 | 46635位读者 | 引用
5
Apr
重提“旋转弹簧伸长”问题（变分解法）
By 苏剑林 | 2011-04-05 | 19376位读者 | 引用感谢Awank-Newton读者的来信，本文于2013.01.30作了修正，主要是弹性势能的正负号问题。之前连续犯了两个错误，导致得出了正确答案。现在已经修正。参考《平衡态公理的修正与思考》
在下面的两篇文章中，BoJone已经介绍了这个“旋转弹簧伸长”的问题，并从两个角度提供了两种解答方法。前者列出了一道积分方程，然后再转变为微分方程来解；后者直接从弹性力学的角度来列出一道二阶微分方程，两者殊途同归。
http://kexue.fm/archives/782/
今天，再经过一段时间的变分法涉猎后，BoJone尝试从变分的角度（总能量最小）来给出一种新的解法。同样设r为旋转达到平衡后弹簧上一点到旋转中心的距离，该点的线密度为$\lambda =\lambda (r)$，该点到中心的弹簧质量为$m=m(r)$，旋转前的长度为$l_0$，旋转平衡后的长度为$l_1$。由于弹簧旋转后已经达到了平衡状态，由平衡态公理（参看《自然极值》系列），平衡意味着总能量“动能-势能”取极值。
16
Apr
《教材如何写》:我们需要怎样的数学教育？
By 苏剑林 | 2011-04-16 | 63035位读者 | 引用转载自：matrix67.com
注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。
我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在数学专业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明，我再忙都会花时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。
我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。
我们经常听说牛顿力学、相对论力学、量子力学等物理名词，也不时会听到“理论力学”。其实，“理论力学”这个名词是不大妥当的，因为这很容易会让人误认为这是一种新的力学体系。而事实上，理论力学并不是像牛顿力学那样是一种力学体系，而是一种研究力学的方法，而研究的对象在多数情况下依然是经典力学（翻开任意一本《理论力学》教程都不难发现这一点）。简单来讲，它把牛顿时代用微积分来研究力学的方法转变为了“变分”，变“常微分”为“偏微分”。看上去这有点“化简为繁”，但事实上这样的一个转变却带来了力学研究的一个巨大的飞跃。
说到这里，也许有的读者会感到害怕了：这里边肯定又涉及了各种高深莫测的高等数学方法，我们只能望而却步。的确，理论力学中的方法很是深奥，纵使是一个优秀的大学数理本科生，也可能要花上一年多时间才能学完一本《理论力学》。可是，通过最小作用量原理的方法去研究物理又显得如此地诱人。难道像我们这些初级人士就无法亲身体验理论力学方法给我们带来的巨大便利和不一样的体验了吗？
我们在研究地球附近的小天体运动时，如果把天体和地球看作一个二体系统，那最多只能算上一个零级近似，如果使用“地球+月球+小天体”组成的圆形限制性三体问题模型，那可以算上一个二级近似了。那么，一级近似又是什么了。BoJone认为，它就是本文将要讲的“双固定引力中心问题”了，也叫“双不动中心问题”，英文名是two fixed-center problem。这是一种特殊的限制性三体问题。在这个三体系统中，两个主天体（或称有限质量天体）固定不动，第三个小天体在两个固定的主天体吸引下运动。欧拉、拉格朗日、勒让德、雅可比等人很早就研究过这个问题。其中，欧拉最先成功地求出了这个系统的积分。[引用]
另外，双固定引力中心问题还有另外一个应用，在研究人造卫星的运动时，可以只考虑地球引力，但是由于地球不是完美的球体，把其看成一个质点其实不十分精确，要是把它拆分为两个引力源，就可以很大程度上提高精确度。毕竟双固定引力中心问题是完全可以积分的，可以作为一个比较好的中间轨道（介乎圆锥曲线和精确轨道之间的）。
15
May
地球引力场的悬链线方程
By 苏剑林 | 2011-05-15 | 56885位读者 | 引用之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题，并且在那文章中向读者提出：在一个质点（地球）引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话，提出这个问题的时候，我还不懂怎么解答这个问题，不过现在会了，回头一看，已经几个月了，时间过得真快...
与之前的思路一样，我们依旧采用的是“平衡态公理”，即总势能最小。从天体力学中我们知道，任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题，我们可以把地球放到坐标原点位置，而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$
19
Jul
一道整数边三角形题目
By 苏剑林 | 2011-07-19 | 20387位读者 | 引用
13
Aug
对称多项式不等式的“物理证明”
By 苏剑林 | 2011-08-13 | 34188位读者 | 引用本文将再次谈到对称这个话题，不过这一次的对象不是“等式”，而是“不等式”。
在数学研究中，我们经常会遇到各种各样的函数式子，其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢？对称有很多种说法，但是针对于多元对称式，我们的定义为满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(y_1,y_2,...,y_n)$的函数，其中$(y_1,y_2,...,y_n)$是$(x_1,x_2,...,x_n)$的任意一个排列。通俗来讲，就是将式子中任意两个未知数交换位置，得到的式子还是和原来的式子一样。例如$\sin x+\sin y$，把$x,y$交换位置后得到$\sin y+\sin x$，还是和原来的一样；再如$xy+yz+zx$，将y,z互换后可以得到$xz+zy+yx$，结果还是和原式一样；等等。有些对称的函数是一个n次的多项式，那么就叫它为n次对称多项式，上边的例子$xz+zy+yx$就是一个三元二次对称多项式。
最近评论