弹簧.jpg上一次我从密度的角度讨论了旋转的弹簧伸长的问题,由于对弹性形变等问题是初涉,所以花了好大功夫。这几天重新认识了一下胡克定律,并且从另外的角度给出了这道题目的一个相对简单的解法。在此把它记录下来,并写写我对弹性形变的一些粗浅看法。

在解答的过程中,我再次体验到了殊途同归的感觉,科学就是这样的奇妙,一个目的地往往有着不止一条道路,不同的道路会给我们不同的科学视觉,最终领略到不同的科学美景;多走几条路,更能够让我们从不同的角度领略美不胜收的科学,这也是众多旅游爱好者不辞千里地观赏美景的原因!

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我们之前把胡克定律写成$F=k*\Delta l$,$\Delta l$是弹簧的伸长,这种写法简单而不完美,因为虽说k是常数,但是影响因素太多了,如弹簧长度、厚度等都会影响劲度系数k;而在大学的力学教程中,是这样写胡克定律的:
$\frac{F_n}{S}=E\frac{\Delta l}{l_0}$

$F_n$是垂直作用在弹簧横截面的力;S是横截面积;E称为弹性模量(也叫杨氏模量),这是与材料有关的量,对于拉伸和压缩,E一般不同,但是相差也不大;$\frac{\Delta l}{l_0}$称为(正)应变,由于弹簧的整体应变未必相同,所以严格的应变应该写成$\frac{d(\Delta l)}{dl}$,因此,胡克定律应该写成
$\frac{F_n}{S}=E\frac{d(\Delta l)}{dl}$————(1)

如果受力是均匀的,那么有:$\frac{F_n}{S*E}dl=d(\Delta l)$,积分便成
$\frac{F_n}{S*E}l_0=\Delta l=>F_n=\frac{E*S}{l_0}\Delta l$
对比$F=k\Delta l$,可以得出:$k=\frac{E*S}{l_0}$,这个等式很清晰地说明了k与那些量有关(E、S、l分别代表了弹簧的材料、厚度、长度

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上面的一堆只是BoJone对胡克定律的粗浅看法,下面进入正题,给出另外角度的解决旋转弹簧的伸长问题的方法。

选取弹簧旋转重心为参考点,设原来位于弹簧上坐标为(x,x+dx)、质量为dm的质量元,旋转后坐标为(y,y+dy),那么伸长量为$dy-dx$,应变为$\frac{dy-dx}{dx}=\dot{y}-1$,根据(1),有
$F_n=E*S*(\dot{y}-1)=kl_0 (\dot{y}-1)$————(2)

$F_n$即作用在截面上的惯性离心力,可以得到$F_n=F_c=\int_y^l y\omega^2 dm$,l是旋转后的弹簧的长度,由此并结合(2)式可以给出:$y=l,dot{y}=1$。现在我们把(2)式两端微分,得到
$d(F_n)=kl_0 \ddot{y}dx$
$d(F_n)=-y\omega^2 dm=-\lambda_0\omega^2 ydx$
$\ddot{y}=-\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}y$————(3)

这就是一个二阶线性齐次微分方程,为了得出形式相对简单的解,我们不采取求通解的方法,而是与之前处理过的问题一样,令$\ddot{y}=\dot{y}\frac{d\dot{y}}{dy}$,代入(3),分离变量并积分,可以得到
$\dot{y}^2=-\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}y^2+C_1$
根据初始条件$y=l,dot{y}=1$,可以得到$C_1=\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}l^2+1$。代入上式,继续分离变量,得到
$dx=\frac{dy}{\sqrt{\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}l^2+1-\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}y^2}}$
积分可以得到
$x=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{kl_0}{\lambda_0}}arcsin(\frac{\omega\sqrt{\frac{\lambda_0}{kl_0}}y}{\sqrt{\frac{\lambda_0 \omega^2}{kl_0}l^2+1}})$————(4)
(积分常数为0,因为初始条件是y=0,x=0)

(4)便是我们所希望的结果,我们希望求出l的值,那么可以把$x=l_0,y=l$代入(4),并且利用变换关系$arcsin(a/b)=arctg\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$变成
$l_0=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{kl_0}{\lambda_0}}arctg(\omega\sqrt{\frac{\lambda_0}{kl_0}}l)$

即$l=l_0*\frac{1}{\omega}\sqrt{k/{\lambda_0 l_0}}tg(\omega\sqrt{{\lambda_0 l_0}/k})=l_0*\frac{1}{\omega}\sqrt{k/M}tg(\omega\sqrt{M/k})$


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