20 Sep

一道从小学到高中都可能考到的题目

这是一道很多时候都会考到的题目:
比较$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小(其中n非负)。

在小学我们会使用直接计算;
在初中我们会从一些例子找规律;
在高中我们就会直接去证明了。

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26 Oct

新词发现的信息熵方法与实现

在本博客的前面文章中,已经简单提到过中文文本处理与挖掘的问题了,中文数据挖掘与英语同类问题中最大的差别是,中文没有空格,如果要较好地完成语言任务,首先得分词。目前流行的分词方法都是基于词库的,然而重要的问题就来了:词库哪里来?人工可以把一些常用的词语收集到词库中,然而这却应付不了层出不穷的新词,尤其是网络新词等——而这往往是语言任务的关键地方。因此,中文语言处理很核心的一个任务就是完善新词发现算法。

新词发现说的就是不加入任何先验素材,直接从大规模的语料库中,自动发现可能成词的语言片段。前两天我去小虾的公司膜拜,并且试着加入了他们的一个开发项目中,主要任务就是网络文章处理。因此,补习了一下新词发现的算法知识,参考了Matrix67.com的文章《互联网时代的社会语言学:基于SNS的文本数据挖掘》,尤其是里边的信息熵思想,并且根据他的思路,用Python写了个简单的脚本。

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9 Jan

精确自由落体运动定律的讨论(二)

跳伞过程中的自由落体阶段.jpg

之前在这篇文章中,我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式:
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——(1)

我们来尝试一下推导出这个公式来。同时,站长在逐渐深入研究的过程中,发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题,都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里,我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力!因此,建议各位有志研究物理学的朋友,一定要掌握微分方程,更加深入的,需要用到偏微分方程!

首先,质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$,根据牛顿第二定律F=ma,自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落,求位移s关于t的函数s=s(t).

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20 Mar

《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)

二体问题的轨道模拟

二体问题的轨道模拟

为了让大家能够查询到“天体力学”方面的内容,同时锻炼我的表达和计算能力,BoJone构思了《方程与宇宙》这个主题,主要是写一些关于使用数学相对深入地讨论一些天文问题。其实我一直觉得,不用公式是无法完美地描述科学的(当然也不能纯公式),我记得霍金的《时间简史》以及《果壳中的宇宙》等之类的书,都力求不用或者尽可能少用数学公式来表达自己的观点。这种模式对于对于公众来说是很好的,但是对于希望深入研究的朋友来说却难以进行。所以我主张:宇宙是算出来的!

这个主题每一个字都是由BoJone敲击出来的,其中包括引用了《天体力学引论》里面的一些内容,以及加入了BoJone个人的一些见解。由于篇幅长及时间有限问题,BoJone打算分若干次撰写发布,并且尽可能写得通俗一点,力求让有一点微积分基础的朋友就可以弄懂。这里首先发布第一部分。由于时间匆忙等原因,可能会出现一些疏忽,欢迎大家挑错!

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27 Feb

“n次方程有n个根”的证明

代数基本定理:任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说,复数域是代数封闭的。

虽说这有其名,但却无其实,它并不是最基本的代数定理;因为在那个时候,代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程,所以才被命名为代数基本定理(Fundamental theorem of algebra)。

建立在此前提上,我们可以推出:

一元复系数n次代数方程在复数范围内都有n个根(有可能是共轨复根)。

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24 Jul

神秘的圆——三角形的“六接圆”(添加新方法)

数联天地论坛中的watt5151朋友提出了这样的一个问题:

三角形的“六接圆”

三角形的“六接圆”

如图,已知三角形ABC,如何做一个圆,它与三角形三边都相交,而且六个交点可以连成三条直径?

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27 Aug

与向量的渊源极深的四元数

当我们在使用向量进行几何、物理研究的时候,是否曾经想到:向量竟然起源于“数”?

当向量还没有发展起来的时候(虽然“有方向有大小的量”很早就被人们认识),复数已经得到了认可并且有了初步应用。当我们把复数跟向量联系起来时,我们也许会认为,因为复平面表示的复数运算与向量有着相似之处,才把复数跟几何联系起来。然而事实却相反,向量是从对复数乃至一种称为“四元数”的东西的研究中逐渐分离出来的。换句话说,历史中出现过“四元数”与向量分别研究几何的阶段,麦克斯韦(Maxwell) 将四元 数的数量部分和矢量部分分开,作为 实 体处理,作了大量的矢量分析。三维矢量分析的建立,及同四元数的正式分裂是18世纪80年代由Gibbs和Heaviside独立完成的。矢量代数被推广到矢量函数和矢量微积分,由此开始了四元数和矢量分析的争论,最终矢量分析占了上风。因而“四元数”渐渐离开了教科书。不过,“四元数”的一些特殊而巧妙的应用,仍然使我们不至于忘记它。

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29 Aug

计算夏至的精确时刻2——提高精确度

之前曾经得到过一条计算夏至精确时间的公式,现在检验一下(之前推导是根据了2009年的数据)

公元Y年的夏至日期为该年的6月
$$21.9938+0.2422Y-\lfloor Y/4 \rfloor-\lfloor Y/400 \rfloor+\lfloor Y/100 \rfloor$$
其中$\lfloor x \rfloor$表示整数部分。

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