科学空间|Scientific Spaces

图片说明：猎户座与彗星，版权: Rolando Ligustri

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The New Calculation Of Lagrangian Point 1,2,3

L2_rendering

关于n体问题，选择质心或其他定点为参考点，我们可以列出下面的运动方程：
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}\tag{19}$$
现在我们只考虑三体问题。天文学家一直希望能够找到三体问题的简洁解，可是很遗憾，庞加莱已经证明了三体问题的解是混沌的，也就是说任何微小的扰动都有可能造成不可预料的后果（可以形象的比喻为：巴西的一只蝴蝶翅膀的扇动，有可能因此美国的一场龙卷风）。

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The New Calculation Of Lagrangian Point 4,5

上一回我们已经求出了拉格朗日点L1,L2,L3，并且希望能够求出L4,L5两个点。由于L4,L5与“地球-太阳”连线已经不共线了，所以前边的方法貌似不能够用了。为了得到一个通用的定义，我们可以采用以下方法来描述拉格朗日点：位于拉格朗日点的天体，它与太阳的连线以及地球与太阳的连线所组成的角的大小是恒定的。（这里为了方便，采用了地日系的拉格朗日点来描述，对于一般的三体问题是一样的）

对于L4,L5来说，我们或许可以设置一个新的向量来描述这两点的向径（如$\vec{R}$）。当我们这样做后，很快就会发现这样会令我们的计算走向死胡同。因为我们发现：已知两个向量的夹角和其中一个向量，我们很难把另一个向量用已知向量的式子表达出来。不能做到这一点，就不能找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系，就无法联立方程求解。难道，我们这一条路走到尽头了吗？一开始BoJone也冥思苦想不得头绪，但是...

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当我们在使用向量进行几何、物理研究的时候，是否曾经想到：向量竟然起源于“数”？

当向量还没有发展起来的时候（虽然“有方向有大小的量”很早就被人们认识），复数已经得到了认可并且有了初步应用。当我们把复数跟向量联系起来时，我们也许会认为，因为复平面表示的复数运算与向量有着相似之处，才把复数跟几何联系起来。然而事实却相反，向量是从对复数乃至一种称为“四元数”的东西的研究中逐渐分离出来的。换句话说，历史中出现过“四元数”与向量分别研究几何的阶段，麦克斯韦(Maxwell) 将四元 数的数量部分和矢量部分分开，作为 实 体处理，作了大量的矢量分析。三维矢量分析的建立，及同四元数的正式分裂是18世纪80年代由Gibbs和Heaviside独立完成的。矢量代数被推广到矢量函数和矢量微积分，由此开始了四元数和矢量分析的争论，最终矢量分析占了上风。因而“四元数”渐渐离开了教科书。不过，“四元数”的一些特殊而巧妙的应用，仍然使我们不至于忘记它。

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椭圆坐标系是一种二维正交坐标系。与直角坐标的转换关系为
$$\begin{aligned}x = a \cos h \mu \cos \nu \\ y = a \sin h \mu \sin \nu\end{aligned}$$

其中$(-a,0)$和$(a,0)$是两个焦点。

参看：http://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆坐标系

Elliptical_coordinates_grid

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在《自然极值》系列文章中，我引用了《数学方法论与解题研究》（张雄，李得虎编著）中提到的“平衡态公理”，并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极（小）值时取到，简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展，比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的，但在有些时候，我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极（小）值时取到”。然而，这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。

先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发，考虑保守系统，每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$

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无尽的等待

上个月的最后三天（06.28-06.30），我去国家天文台参加了第三届宇宙驿站的站长联谊会及科普研讨会。会议在河北兴隆天文台举行，我们按照计划是先到北京总部，然后去兴隆，然后回到北京总部解散。具体的故事我会另写文章与大家分享，本文主要想说一下我与北京首都国际机场的“难分难舍”的返程之旅。

按照计划，我是昨晚9点的飞机，今天凌晨应该可以到广州。我七点多到机场，八点左右就办完了登记手续，然而，我们等了两三个钟，最终得到的结果是：由于雷暴雨的影响（北京并没有下雨，估计是途中某个地方的上空天气太糟糕），该航班取消，补到第二天七点......这对我来说可真是个大考验。虽说航空公司会为我们联系宾馆，但是效率之低让不少人在机场抗议，于是乎冰冷的机场一下子就热闹起来的（取消的不知我们一趟航班，还有很多其他航班）。而我虽然来过好几次北京，毕竟还属于“异客”，自然经验不足，但我做出了一个很大胆的决定：在机场过夜！

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这也是我的期末论文之一...全文共17页，包括了四元数的构造方法，初等应用等。附录包括行列式与体积、三维旋转的描述等。使用LaTex进行写作（LaTex会让你爱上数学写作的）

几何的数与数的几何
――超复数的浅探究

摘要
今天，不论是数学还是物理的高维问题，都采用向量分析为基本工具，数学物理中难觅四元数的影子。然而在历史上，四元数的发展有着重要的意义。四元数（Quaternion）运算实际上是向量分析的“鼻祖”，向量点积和叉积的概念也首先出现在四元数的运算中，四元数的诞生还标记着非交换代数的开端。即使是现在，四元数还是计算机描述三维空间旋转问题最简单的工具。另外，作为复数的推广，四元数还为某些复数问题的一般化提供了思路。

本文把矩阵与几何适当地结合起来，利用矩阵行列式$\det (AB) =(\det A)(\det B)$这一性质得出了四元数以及更高维的超复数的生成规律，并讨论了它的一些性质以及它在描述旋转方面的应用。部分证明细节和不完善的思想放到了附录之中。

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