这也是我的期末论文之一...全文共17页，包括了四元数的构造方法，初等应用等。附录包括行列式与体积、三维旋转的描述等。使用LaTex进行写作（LaTex会让你爱上数学写作的）

几何的数与数的几何
――超复数的浅探究

摘要
今天，不论是数学还是物理的高维问题，都采用向量分析为基本工具，数学物理中难觅四元数的影子。然而在历史上，四元数的发展有着重要的意义。四元数（Quaternion）运算实际上是向量分析的“鼻祖”，向量点积和叉积的概念也首先出现在四元数的运算中，四元数的诞生还标记着非交换代数的开端。即使是现在，四元数还是计算机描述三维空间旋转问题最简单的工具。另外，作为复数的推广，四元数还为某些复数问题的一般化提供了思路。

本文把矩阵与几何适当地结合起来，利用矩阵行列式$\det (AB) =(\det A)(\det B)$这一性质得出了四元数以及更高维的超复数的生成规律，并讨论了它的一些性质以及它在描述旋转方面的应用。部分证明细节和不完善的思想放到了附录之中。

目录

1 背景2
2 行列式3
3 四元数3
3.1 复数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 复数与矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 三元数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 四元数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 背景2
3.4.1 几何方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4.2 代数方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 一些性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5.1 基本运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5.2 空间旋转. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5.3 非交换加法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 八元数11
5 结束语12
A 附录12
A.1 行列式与体积的等价性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A.2 矩阵描述旋转. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A.3 改变模的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A.4 四元数微积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
参考文献17

《几何的数与数的几何：超复数的浅探究》.pdf

转载到请包括本文地址：https://spaces.ac.cn/archives/2291

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Jan. 11, 2014). 《几何的数与数的几何：超复数的浅探究 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/2291

@online{kexuefm-2291,
        title={几何的数与数的几何：超复数的浅探究},
        author={苏剑林},
        year={2014},
        month={Jan},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/2291}},
}