19
Nov
[欧拉数学]素数倒数之和
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 37777位读者 | 引用上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上，这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来，换句话说，“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中，数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”，继而打开数学之门！
接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前，我们得需要看一个引理：
无限数列${a_n}$的每一项都大于0，那么$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$与$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+a_n\right)$的敛散性相同。换句话说，两者互为充分必要条件！
19
Nov
[欧拉数学]素数定理及加强
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 43127位读者 | 引用1798年法国数学家勒让德提出：
$$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$$
这个式子被成为“素数定理”(the Prime Number Theorem, PNT)。它表达的是什么意思呢？其中$\pi(N)$指的是不大于N的素数个数，$\frac{N}{\ln N}$是一个计算结果，符号~叫做“渐近趋于”，整个式子意思就是“不大于N的素数个数渐近趋于$\frac{N}{\ln N}$”；简单来讲，就是说$\frac{N}{\ln N}$是$\pi(N)$的一个近似估计。也许有的读者会问为什么不用≈而用~呢？事实上，~包含的意思还有：
$$\lim_{N-\infty} \frac{\pi(N) \ln N}{N}=1$$
4
Mar
我的自主招生成绩公布了
By 苏剑林 | 2012-03-04 | 39031位读者 | 引用
1
May
相对论、对称和第四维
By 苏剑林 | 2012-05-01 | 77763位读者 | 引用这篇文章其实在年初就完成了。
众所周知，我们生活在一个平坦的世界中。正如我们能够感受到的那样，在这个被称为“欧几里得平直空间”的世界里，空间里两点间的最短曲线是两点间的直线段，空间里的任意直角三角形都满足勾股定理，每个物体都有着自己的长、宽、高，它们都随着时间的流逝而运动着。这种世界观把时间独立于空间之外，作为一个独特的研究对象。但是自爱因斯坦在1905年发表狭义相对论以来，我们的宇宙就被描述成为了由三维空间和一维时间组成的“四维时空”，在这里，时间和空间的地位是等价的。不少同好们也许会感到非常困惑：即使证明了时间与空间的确存在着某种联系，也不必要把时间描述成是世界的一维吧？在我们的感官里，时间明明就和空间的三维差别甚大，时间和空间怎么能够等同起来呢？其实答案很简单：为了美。把时间看成与空间等价的一维之后，整个力学体系体现出一种前所未有的对称美，这种美不仅让人赏心悦目，而且极大地方便了我们进一步处理问题。
对称
10
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(1)
By 苏剑林 | 2012-06-10 | 78607位读者 | 引用
方轮自行车
你见过正方形轮子的自行车吗？一般认为，只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动，但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的？只要铺好一条适当的道路，正方形车轮的自行车照样可以平稳前行！本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实，方轮自行车已经不是新鲜玩意了，它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到，它的特殊轨道是有许多段弧组成的，每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时，正方形会保持与弧形相切（确保不会打滑）。这样的路的形状是什么曲线呢？很幸运，它并不十分复杂，而且让人意外的是，它就是我们之前已经研究过的“悬链线”！原来，要设计这样的一个曲线的轨道，不需要多么高深的设计师，只需要我们手拿一条铁链，让它自由垂下......
23
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(3)
By 苏剑林 | 2012-06-23 | 51300位读者 | 引用由于自行车之旅的原因，这篇文章被搁置了一个星期，其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中，发现它应用的基本方向和方法，从而提升对它的认识。
例子2：
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$
这也是一种比较常见的类型，它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$，对于这种形式，我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$，这样的目的很简单，就是把分母给消去了，与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现，纵使这样能够消去分母，使得第一次积分变得简单，但是到了第二次积分的时候，我们发现，它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分，使我们不能继续进行下去，因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。
26
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(4)
By 苏剑林 | 2012-06-26 | 72078位读者 | 引用趁着早上有空，就赶紧把这篇文章写好吧。下午高考成绩要公布了，公布后也许又会有一段时间忙碌了。这应该是“费曼积分法”系列最后一篇文章了。它主要讲的还是费曼积分法的一个实例。不同的是，这是BoJone首次独立地用费曼积分法解决了一个问题。之前提到的一些例子，都是书本提供并结合了提示，BoJone才把它们算出来的。所以这个问题有着点点纪念意义。
数学研发论坛上wayne曾求证这样的命题：
$\int_0^{\infty}\frac{f(x,2m-1)-\sin x}{x^{2m+1}}dx$其中，f(x,2m-1)表示sinx的2m-1阶泰勒展开
如m=1时，
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}dx$$
m=2时
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\frac{x^3}{6}-\sin x}{x^5}dx$$
借助软件我发现结果是：
$\frac{\pi(-1)^{m-1}}{2(2m)!}$
最近评论