由于自行车之旅的原因，这篇文章被搁置了一个星期，其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中，发现它应用的基本方向和方法，从而提升对它的认识。

例子2：

∫∞0sinxxdx

这也是一种比较常见的类型，它的形式为∫f(x)xdx，对于这种形式，我们的第一感觉就是将其改写成参数形式∫f(ax)xdx，这样的目的很简单，就是把分母给消去了，与∫xf(x)dx的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现，纵使这样能够消去分母，使得第一次积分变得简单，但是到了第二次积分的时候，我们发现，它又会变回∫f(x)xdx的积分，使我们不能继续进行下去，因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。

有一个神奇的方法，让我们将其变换成：

G(a)=∫∞0e−axsinxxdxf(x,a)=e−axsinxx

这样我们在原来的基础上增加了一块e−ax，其作用也是让我们把分母给消去了，因为

∂f(x,a)∂a=−e−axsinx

所以
G′(a)=∫∞0−e−axsinxdx=1a2+1e−ax(asinx+cosx)|∞0=−1a2+1
（指数函数《积分表》）

最后得到
G(a)=−∫1a2+1da=−arctana+C

当a→∞时，f(x,a)=0，G(a)=0，得到C=π2。最终的结果是

∫∞0e−axsinxxdx=−arctana+π2

所以
∫∞0sinxxdx=G(0)=π2

例子3：

在费曼所看的《高等微积分》中，有一个很典型的例子，它的求解过程结合了微分方程的知识。

已知∫∞0e−x2dx=√π2，求积分：u=∫∞0e−x2−a2x2dx

这个积分已经给出了参数a，我们不妨直接对该参数求导，看看会发生什么？

duda=∫∞0∂(e−x2−a2x2)∂adx=2∫∞0e−x2−a2x2d(ax)

令t=ax，则变成了
∫∞0e−x2−a2x2d(ax)=−∫∞0e−t2−a2t2dt

这个积分的形式和所求积分的形式完全一样，因为变量的符号（x,t）只是一个记号，积分本身和变量的符号无关，因此我们有把握地说
∫∞0e−t2−a2t2dt=u

总的来说：duda=−2u

解得：u=C×e−2a，利用给出的已知条件，可以确定常数C=√π2，所以

∫∞0e−x2−a2x2dx=√π2×e−2a

小结

费曼积分法的变换形式多种多样，捉摸不定，需要在实际应用中敢想、敢试，而且时常需要“灵光一现”，才能妙笔生花！也许正是它的这种灵活性，因此通常有意想不到的惊喜等着我们，或者正是这个原因，费曼对它情有独钟。

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苏剑林. (Jun. 23, 2012). 《费曼积分法——积分符号内取微分(3) 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1629

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        title={费曼积分法——积分符号内取微分(3)},
        author={苏剑林},
        year={2012},
        month={Jun},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/1629}},
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