科学空间|Scientific Spaces

牛腩过冷河

除了数学物理和中国象棋，我闲时也喜欢弄一下吃的。看到各种菜料经过自己的加工变成佳肴，也是一件美不胜收的事情；有时看到同样的菜料能够做出不同款式、不同味道的菜时，更是其乐无穷。作为广东人，我很自豪于其中一句话：“广东人吃所有东西——天上飞的，除了飞机；地上爬的，除了火车；水中游的，除了潜艇”。虽然不免有些夸张，但这句话充分显示了广东人（或者说岭南地区）饮食和烹饪的强大本领。我的厨房技术来源于我妈妈，小时候妈妈在家里做菜，由于是烧柴草生火，所以我得在灶前看好火。于是看火之时也在看妈妈做菜，久而久之，也会学会了一些做菜的方法。而现在，妈妈仍是家里的厨房好手，而我也不时进入厨房，做做自己喜欢吃的东西。谢谢我的好妈妈！

炼钢

本文叫“炼钢.vs.做菜”，这两者基本上是风牛马不相及，不过我却发现它们有一点点相似的技巧。已不记得什么时候了，在一本自然科学的书上，我曾看到过炼钢的两种技术：淬火和退火（后来发现还有正火、回火等，原理类似）。简单来说，淬火是将一块钢铁烧红，然后放进冷水中迅速冷却（也就是加热到一定温度，然后迅速冷却），如此重复，便可使得钢铁变硬，但同时也会更脆；退火则刚刚相反，它是将钢铁烧红后，让它自然冷却（有必要时，想办法降低冷却速度），如此一来，钢铁变软了，也变韧了。正火、回火均与退火类似，只是在细节上不同。通过淬火和退火的适当组合，可以生产出硬度和韧度都适当的钢铁。

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在讨论曲线坐标系的积分时，通常都会出现行列式这个东西，作为“体积元”的因子。在广义相对论中，爱因斯坦场方程的作用量就带有度规的行列式，而在对其进行变分时，自然也就涉及到了行列式的求导问题。我参考了朗道的《场论》以及《数理物理基础--物理需用线性高等数学导引》，了解到相关结果，遂记录如下。

推导

设
\begin{equation}\boldsymbol{A}(t)=\left(a_{ij}(t)\right)_{n\times n}\end{equation}
是一个n阶矩阵，其中每个矩阵元素都是t的函数。其行列式为$|\boldsymbol{A}|$，自然地，考虑
\begin{equation}\frac{d}{dt}|\boldsymbol{A}|\end{equation}

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开水白菜 (1)

如果要用做菜来比喻人生的话，我觉得，人生最高的境界之一便是开水白菜。

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为了拓展整数的概念，我们需要了解关于环和域这两个代数结构，这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构，是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中，可以很方便定义和比较两个数字的大小，并且任意一个自然数的子集，都存在最小元素，这两点综合起来，我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的（这也是数学归纳法的基础）。在良序的结构中，很多性质的证明变得很简单，比如算术基本定理。然而，一般的数环、数域并没有这样的“良序”，比如任意两个复数就不能比较大小。因此，一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。

环和域

关于环（Ring）的定义，可以参考维基百科上面的“环（代数）”条目。简单来说，环指的是这样一个集合，它的元素之间可以进行加法和乘法，并满足一些必要的性质，比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环，它指的是集合是数集的情况，并且通常来说，元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$，这个数环是无限的；所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$；对于素数$p$，在模$p$之下，数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环，更特别的，它还是一个数域。

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Mathieu方程

在文章《有质动力：倒立单摆的稳定性》中，我们分析了通过高频低幅振荡来使得倒立单摆稳定的可能性，并且得出了运动方程
$$l\ddot{\theta}+[h_0 \omega^2 \cos(\omega t)-g]\sin\theta=0$$

由此对单摆频率的下限提出了要求$\omega \gg \sqrt{\frac{g}{h_0}}$。然而，那个下限只不过是必要的，却不是充分的。如果要完整地分析该单摆的运动方程，最理想的方法当然是写出上述常微分方程的解析解。不过很遗憾，我们并没有办法做到这一点。我们只能够采取各种近似方法来求解。近似方法一般指数值计算方法，然后笔者偏爱的是解析方法，也就是说，即使是近似解，也希望能够求出近似的解析解。

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简单说说

《可畏的对称》

笔者最近陶醉于从李对称的角度来理解力学和场论，并且计算得到一些比较有趣的结果，遂想在此与大家分享。我发现，仅仅需要一个描述对称的无穷小生成元和一些最基本的假设，几乎就可以完成地推导出整个相对论力学来，甚至推导出整个（经典）场论理论来。这确实是不可思议的，我现在能基本体会到当年徐一鸿大师写的《可畏的对称》的含义了。对称的威力如此之大，以至于我们真的不得不敬畏它。而在构思本文题目的时候，我也曾想到过用“可畏的对称”为题，但不免有抄袭和老套之嫌。后来想到曾有一部漫画叫《一本漫画闯天涯》，遂将“漫画”改成“对称”，“天涯”改成“物理”，似乎也能表达我对“对称”的感觉。

对称就是在某种变换下保持不变的性质，比如狭义相对论要求所有物理定律在所有惯性系中保持不变，这相对于要求描述物理定律的方程在匀速运动的坐标变换下保持不变，结合光速不变的要求，我们就可以推导出洛伦兹变换，从而完成地描述了狭义相对论里边的对称。然而，并不是任何时候都可以想推导洛伦兹变换那样，能够把一个完整的变换推导出来的。幸好，李对称的不需要完整的对称描述，它只需要“无穷小变换”（意味着我们可以忽略掉高阶项），对应地产生一个“无穷小生成元”，用这个无穷小生成元，就足以完整构建出我们所需要的物理来。这种“无穷小”决定“广泛”、“局部”决定“全局”的奇妙至今仍让我觉得不可思议。（关于李对称、无穷小生成元的基本概念，不妨先阅读：《求解微分方程的李对称方法》）

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从这个系列的第一篇文章到本文，已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的，为什么这么久才更新呢？原因有二，其一是随着春天的到来人也开始懒起来了，颓废呀～；其二，我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑，发展完质点力学理论后，下一步就是发展场论，诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西，即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点，我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果，即推导出电磁场的方程后，“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法，即假定场有这种对称性，然后就可以构建出场方程了。可是，为什么场存在着规范不变性，我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看，这个不变性似乎跟广义不变性有关（电磁场也是，这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性？）。还有，似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释，可是这样的话，就离我还很远了。

好吧，我们还是先回到相对论力学的推导中。

“无”中生有

上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元，并进行了延拓。我已经说过，仅需要无穷小的变换形式，就可以构建出完成的相对论力学定律出来（当然这需要一些比较“显然”的假设）。这是个几乎从“无”到有的过程，也是本文标题的含义所在。另一方面，这种从局部到整体的可能性，也给我们带来一些启示：假如方法是普适的，那么可以由此构造出我们需要的物理定律来，包括电磁场、引力场方程等。（当然，我离这个目标还有点远。）

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每当看到数学的两个看似毫不相关的分支巧妙地联系了起来时，我总会为数学的神奇美丽惊叹不已。在很久以前，当我看到通过生成函数法把数论问题与复变函数方法结合起来，衍生出一门奇妙的“解析数论”时，我就惊叹过生成函数法的漂亮！可惜，一直都没有好好写整理这些内容。今天，当我在看李政道先生的《物理学中的数学方法》时，看到他把复变函数跟随机游动如鬼斧神工般了起来，再次让我拍案叫绝。最后实在压抑不住心中的激动，在此写写概率论和生成函数的事情。

数论与复变函数结合，就生成了一门“解析数论”，按照这个说法，概率与复变函数结合，应该就会有一门“解析概率”，但是我在网上搜索的时候，并没有发现这个名词的存在。经过如此，本文还是试用了这个名词。虽然这个名词没有流行，但事实上，解析概率的方法并不算新，它可以追溯到伟大的数学家拉普拉斯以及他的著作《分析概率论》中。尽管如此，这种巧妙漂亮的方法似乎没有得到大家应该有的充分的认识。

我觉得，即使作为一个简洁的计算工具，生成函数法这个美丽的技巧，也应该尽可能为科学爱好者所知，更不用说数学专业的朋友了。

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