一本对称闯物理：相对论力学(二)

从这个系列的第一篇文章到本文，已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的，为什么这么久才更新呢？原因有二，其一是随着春天的到来人也开始懒起来了，颓废呀～；其二，我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑，发展完质点力学理论后，下一步就是发展场论，诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西，即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点，我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果，即推导出电磁场的方程后，“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法，即假定场有这种对称性，然后就可以构建出场方程了。可是，为什么场存在着规范不变性，我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看，这个不变性似乎跟广义不变性有关（电磁场也是，这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性？）。还有，似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释，可是这样的话，就离我还很远了。

好吧，我们还是先回到相对论力学的推导中。

“无”中生有

上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元，并进行了延拓。我已经说过，仅需要无穷小的变换形式，就可以构建出完成的相对论力学定律出来（当然这需要一些比较“显然”的假设）。这是个几乎从“无”到有的过程，也是本文标题的含义所在。另一方面，这种从局部到整体的可能性，也给我们带来一些启示：假如方法是普适的，那么可以由此构造出我们需要的物理定律来，包括电磁场、引力场方程等。（当然，我离这个目标还有点远。）

再次提到上一文中的生成元
$$X^{(2)}=\frac{x}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}+t\frac{\partial}{\partial x}+\left(1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}\right)\frac{\partial}{\partial \dot{x}}-\frac{3\dot{x}\ddot{x}}{c^2}\frac{\partial}{\partial \ddot{x}}$$

牛顿力学的运动定律是
$$m\ddot{x}=f$$
可是这个方程是不满足相对论的，因为
$$X^{(2)}(m\ddot{x})=-\frac{3m\dot{x}\ddot{x}}{c^2}\neq 0$$
为了满足狭义相对论的要求，我们必须要对该定律进行修改。右端的力属于物理客体，我们自然是改不了的。我们需要更改方程的左边。为了使得方程满足更多的对称性（这指的是满足时空的平移不变性），我们设想方程的左边只含有$x$的导数项，那么设正确的方程是
$$F(\dot{x},\ddot{x})=f$$
我们还有一个假设，在低速时$F(\dot{x},\ddot{x})\to m\ddot{x}$，毕竟，牛顿力学定律是经过大量的低速考验的。

这样子就必须有
$$X^{(2)} F(\dot{x},\ddot{x})=0$$
也就是
$$X^{(2)} F=\left(1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}\right)\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}-\frac{3\dot{x}\ddot{x}}{c^2}\frac{\partial F}{\partial \ddot{x}}=0$$
这是简单的齐次线性偏微分方程，它的求解可以参考相关的偏微分方程理论。我们先解特征方程
$$\frac{d\dot{x}}{1-\dot{x}^2/c^2}=-\frac{d\ddot{x}}{3\dot{x}\ddot{x}/c^2}$$
得到通解（要注意，我们做延拓，就是为了让$\dot{x}$和$\ddot{x}$分开处理，所以这里$\dot{x}$和$\ddot{x}$是两个独立的变量）
$$\frac{m\ddot{x}}{|1-\dot{x}^2/c^2|^{3/2}}=Const.$$
于是上述偏微分方程的通解为（取类时解）
$$F=F\left(\frac{m\ddot{x}}{(1-\dot{x}^2/c^2)^{3/2}}\right)=F\left(\frac{dp}{dt}\right)$$
其中
$$p=\frac{m\dot{x}}{\sqrt{1-\dot{x}^2/c^2}}$$
（相对论动量的形式出来了。）

如果只是从满足狭义相对论的角度来讲，任何诸如
$$F\left(\frac{dp}{dt}\right)=f$$
的定律都是可以接受的。但是我们还需要考虑两点：

1、能够解释物理现象，这简单体现为低速退化为牛顿定律；
2、在满足第一点的情况下，物理定律应当尽可能简洁。

所以我们最简单地取
$$F\left(\frac{dp}{dt}\right)=\frac{dp}{dt}$$
于是得到了教科书上的相对论力学定律
$$\frac{dp}{dt}=f$$

当然，从我们目前的角度来看，这只是可能的物理定律之一，它的正确性有待实验检测。当然，事实是该定律已经得到了大量的事实考验。

前方的路？

那么我们下一步的工作是什么呢？我们已经完成了力学定律的推导。下一步可能的工作有两个：第一，由于我们的推导是基于二维时空这种简单情况的，所以很容易产生将其推广到一般的四维时空的想法。但是我们认为，二维上的工作已经让我们领略到了这种思想的要点，推广到四维并没有本质上和技巧上的难度，只是繁复的数学演算而已。另外一个可能的、也更有意义的工作是将我们的“成果”变分化。按照费曼的思想，他认为不满足某个变分原理的定律“极有可能”是错误的。

因此，在下一篇文章中，我们着重于理解变分原理的对称性，也就是说，我们将要寻找在某个变换下保持不变的作用量！这是相当有趣和有用的，它和方程的对称性类似，但又有些不同。顺便需要提及的是：用变分原理描述还有一个好处，就是我们通常的“运动方程”都是含有变量对时间的二阶导数，这意味着大多数情况下，作用量只含有一阶导数（引力场是个例外），某种程度上，这也是对我们推导的一种简化。

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