13 Mar

一维弹簧的运动（下）

By 苏剑林 | 2014-03-13 | 28974位读者 |

在上一篇文章中，我们得到了一维弹簧运动的方程

$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$
并且得到了通解

$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$
或者

$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$
在文章的末尾，提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。

弹指神通
让我们用一个例子来演示一下上面的解，不妨设初始状态为

$\xi=\left\{\begin{array}{} 0,x <0\\ \sin x,x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\ 1 ,x > 0\end{array}\right.$
反解得

$x=\arcsin \xi$
代入通解表达式

$X(\xi,t)=\frac{1}{2}[\arcsin(\xi+\beta t)+\arcsin(\xi-\beta t)]$
一切看起来都没有问题，但是上述解确实有不当之处的。注意，

$\xi$ 的取值是0到1，比如我们考虑

$\xi=1,t>0$ ，那么

$\xi+\beta t>1$ ，此时

$\arcsin(\xi+\beta t)$ 就不是实数了！可是好端端一个通解，怎么会出现这样的情况呢？

原因在于，当我们用对 $\xi$ 的积分代替了求和时候，实际上使用了一个隐藏的假设：连续性！

也就是说，我们假设初始状态 $x_i$ 位于 $x_{i+1}$ 的左边，经过一段时间运动之后， $x_i$ 还是位于 $x_{i+1}$ 的左边。这不一定成立，比如我们只考虑两个物体的弹簧，初始状态如下

弹簧演示

其中 $x_1$ 一端绷紧，而 $x_2$ 一端被拉开，只要 $x_2$ 到 $x_1$ 的距离足够长，也就是远远超过了原长，那么释放之后， $x_1$ 向右运动， $x_2$ 向左运动，而我们的假设之中它们都是质点，没有碰撞这一概念，而且在我们的方程之中，两个质点只是被一个与距离平方成正比的势能联系着，并不是由一根具体的弹簧拉扯着，所以可以使得 $x_2$ 在左边， $x_1$ 在右边，并且两者在一段时间内越来越远。这样子就破坏了连续性假设。在无限多个质点的情况也是类似的。

于是，总的来说，我们得到的“通解”，实际上只适合描写 $0<\xi+\beta t<1,0<\xi-\beta t<1$ 这个区域内的运动。超出了这个区域，也就需要修改了。至于怎么修改，我也还在思考当中。

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