科学空间|Scientific Spaces

在文章《新理解矩阵3》：行列式的点滴中，笔者首次谈及到了行列式的几何意义，它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而，这篇文章写于我初学矩阵之时，有些论述并不严谨，甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候，研究了超复数的相关内容，而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用，因此把行列式的几何意义重新研究了一翻，修正了部分错误，故发此文，与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,...,\boldsymbol{x}_n$的集合
$$A=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$$
从代数的角度来看，这构成了一个矩阵；从几何的角度来看，这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如：平行四边形就是“平行二维体”，平行六面体就是“平行三维体”，高阶的只需要相应类比，不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

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阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$，那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \boldsymbol{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法，上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时，它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积；当$n=3$时，它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积；高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然，代数不会接受如此笼统的说法，它需要严格的证明。

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本节简单介绍用矩阵来描述旋转。在二维平面上，复数无疑是描述旋转的最佳工具；然而推广到三维空间中，却要动用到“四元数”了。为了证明四元数的相关结论，我们需要三维旋转的矩阵描述。最一般的旋转运动为：绕某一根轴旋转$\theta$角度。这样我们就需要三个参数来描述它：确定一根轴至少需要两个参数，确定角度需要一个参数。因此，如果要用“数”来描述三维空间的伸缩和旋转的话，“三元数”显然是不够的，完成这一目的至少需要四元数。这也从另外一个角度反映了三元数的不存在性。

矩阵方法
首先我们认识到，如果旋转轴是坐标轴之一，那么旋转矩阵将是最简单的，比如向量$\boldsymbol{x}=(x_0,y_0,z_0)^{T}$绕$z$轴逆时针旋转$\theta$角后的坐标就可以描述为
$$\begin{equation}
\boldsymbol{R}_{\theta}\boldsymbol{x}\end{equation}$$

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2013年即将过去，而我的大二也即将过去一半了。这一学期广播台的事情忙了很多，数学物理的进展比想象中稍微缓了一些，主要的进步是在向量分析（场论）、路径积分和微分方程等方面。下学期开始分流了，我选择了非师，但事实上，我更喜欢师范类的课程，我选择非师的唯一原因是选择师范需要修教育学和心理学。幸好，我们创新班的自由度比较多，可以自由选择下学期的课程，我选择了六门数学课程：

1、常微分方程；
2、复变函数；
（这两门纯粹是凑学分的，我觉得他能讲的东西我都懂了，而我认为很重要的部分他不讲...）
3、数理统计；
（这门主要的想法是为路径积分以及统计力学奠基）
4、微分几何；
（主要是广义相对论的奠基，还有理论物理形式）
5、偏微分方程；
（第4、5都是大三的课程，我是去跟大三一起上的）
6、离散数学。

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这也是我的期末论文之一...全文共17页，包括了四元数的构造方法，初等应用等。附录包括行列式与体积、三维旋转的描述等。使用LaTex进行写作（LaTex会让你爱上数学写作的）

几何的数与数的几何
――超复数的浅探究

摘要
今天，不论是数学还是物理的高维问题，都采用向量分析为基本工具，数学物理中难觅四元数的影子。然而在历史上，四元数的发展有着重要的意义。四元数（Quaternion）运算实际上是向量分析的“鼻祖”，向量点积和叉积的概念也首先出现在四元数的运算中，四元数的诞生还标记着非交换代数的开端。即使是现在，四元数还是计算机描述三维空间旋转问题最简单的工具。另外，作为复数的推广，四元数还为某些复数问题的一般化提供了思路。

本文把矩阵与几何适当地结合起来，利用矩阵行列式$\det (AB) =(\det A)(\det B)$这一性质得出了四元数以及更高维的超复数的生成规律，并讨论了它的一些性质以及它在描述旋转方面的应用。部分证明细节和不完善的思想放到了附录之中。

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含有$n$个一阶常微分方程的一阶常微分方程组
$$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$$
其中$\boldsymbol{x}=(x_1(t),\dots,x_n(t))^{T}$为待求函数，而$\boldsymbol{A}=(a_{ij}(t))_{n\times n}$为已知的函数矩阵。现在已知该方程组的$n-1$个线性无关的特解$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_{n-1}$（解的列向量），求方程的通解。

这是我的一位同学在6月5号问我的一道题目，我当时看了一下，感觉可以通过李对称的方法很容易把解构造出来，当晚就简单分析了一下，发现根据李对称的思想，由上面已知的信息确实足以把通解构造出来。但是我尝试了好几天，尝试了几何、代数等思想，都没有很好地构造出相应的正则变量出来，从而也没有写出它的显式解，于是就搁置下来了。今天再分析这道题目时，竟在无意之间构造出了让我比较满意的解来~

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一般来说，如果原函数容易找到的话，牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分，如果积分区间含有奇点，那就不成立了。比如，我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然，从严格的数学上来说，这种写法是不成立的，因为被积函数在原点没有意义。当然，从物理的角度来考虑，由于对称性，我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的，但是却不是让人满意的，因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢？确实有的，同样引入参数，并且最终让参数为0，考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正，这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了，也就是奇点消失了，这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况，就自动得到了积分发散的结论。

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写在前面：作为离散数学的实验作业，我选择了研究数独。经过测试发现，数独的自动推理还不算难，我把两种常规的推理思路转化为了计算机代码，并结合了随机性推导，得到了一个解题能力还不错的数独程序。事实上，本文的程序还可以进一步优化，以得到更高能力的数独程序（只需要整理一下代码，加上几个循环和判断即可），但是我实在太懒，没有动力继续弄下去了，就这样先和大家分享吧。最后，笔者认为本文的算法是更接近我们的思维的算法。

数独简介

历史

相传数独源起于拉丁方阵（Latin Square），1970年代在美国发展，改名为数字拼图（Number Place）、之后流传至日本并发扬光大，以数学智力游戏智力拼图游戏发表。在1984年一本游戏杂志《パズル通信ニコリ》正式把它命名为数独，意思是“在每一格只有一个数字”。后来一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。

台湾于2005年5月由“中国时报”首度引进, 且每日连载, 亦造成很大的回响。台湾数独发展协会(Taiwan Sudoku Association, 简称 TSA)亦为世界解谜联盟会员。香港是在2005年7月30日由AM730在创刊时引入数独。中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独。北京晚报智力休闲数独俱乐部（数独联盟前身）在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，成为世界谜题联合会的39个成员之一。（引用自“中文维基百科”： http://zh.wikipedia.org/wiki/数独）

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