一般来说，如果原函数容易找到的话，牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分，如果积分区间含有奇点，那就不成立了。比如，我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然，从严格的数学上来说，这种写法是不成立的，因为被积函数在原点没有意义。当然，从物理的角度来考虑，由于对称性，我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的，但是却不是让人满意的，因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢？确实有的，同样引入参数，并且最终让参数为0，考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正，这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了，也就是奇点消失了，这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况，就自动得到了积分发散的结论。

但是，考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x}dx$$
上述技巧就行不通了，因为作了参数之后
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x+\varepsilon}dx$$
它的奇点依然存在于积分区域内，只不过平移了一点而已。有什么办法可以解决这个问题呢？物理学家想了一个很巧妙的办法（我也不知道是数学家还是物理学家想出来的，反正我是在物理教程中看到的）：翻到新的维度！他们添加的一项是：
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x+i\varepsilon}dx$$
这样就把被积函数放到了复平面去了！该函数在实数轴上是处处连续的，因此牛顿-莱布尼兹公式再次生效
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x+i\varepsilon}dx=\left.(\ln |x+i\varepsilon|)\right|_{-1}^1=0$$

这样做的好处是，在数学的处理中让奇点消失，让各种无穷大自然地抵消掉了，留下净结果。

这样处理确实很不严格，但是在物理中，尤其是量子场论中，面对各种无穷大，连计算都成问题了，还怎么顾得上考虑严格性呢？物理学家总要把答案计算出来，然后看是否符合实际，最后再去考虑严格性、公理化之类的问题。所以，作为“过渡时期”的产物，这种计算技巧是非常必要的。

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苏剑林. (Feb. 25, 2014). 《翻到新的维度，把积分解决！ 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/2380

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        title={翻到新的维度，把积分解决！},
        author={苏剑林},
        year={2014},
        month={Feb},
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