科学空间|Scientific Spaces

Gotthold_Eisenstein

是时候向n=3进军了，为了证明这个情况，我们需要一个新的数环：艾森斯坦整数（Eisenstein Integer）。艾森斯坦是德国著名数学家，同时代的高斯曾经评价：“只有三个划时代的数学家：阿基米德，牛顿和艾森斯坦。”足见艾森斯坦的成就斐然。事实上，阅读费马大定理的研究史，同时也是在阅读数学名人录——没有超高的数学，几乎不可能在费马大定理中有所建树。

基本定义

跟高斯整数一样，艾森斯坦整数也是复整数的一种，其中，高斯整数是以1和$i$为基，$i$其实是一个四次单位根，也就是$x^4-1=0$的一个非实数根，因此高斯整数也叫做四次分圆整数；而艾森斯坦整数以1和$\omega$为基，$\omega$是三次单位根，也就是$x^3-1=0$的一个非实数根。任意一个艾森斯坦整数都可以记为$a+b\omega,\,a,b\in\mathbb{Z}$，艾森斯坦整数环记为$\mathbb{Z}[\omega]$，也称为三次分圆整数环。

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我们这学期开设《实变函数》的课程，实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势，有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧，正是集合论的核心方法。然而，我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背，但是仔细回想，它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》（曹广福），却没有使用看来简单的证明，反而用一些相对复杂的定理，给人故弄玄虚的感觉。

一、全体实数不能跟全体正整数一一对应

这是集合论中的基本结论之一。证明很简单，如果全体实数可以跟全体正整数一一对应，那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应，把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数（比如0.1表示为0.0999...），那么设一种对应为：
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$

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此文很水，高手略过...

Python以它的开发效率而闻名，优秀的开发效率自然意味着它能够用更少的代码实现更多的功能。那么，对于同一个问题，Python的代码能有多简洁？而我们怎么平衡开发效率和运行效率？笔者学了几个月Python，略懂一点，在此班门弄斧一翻。

在此，我们来编程计算
$$\sum_{n=0}^{10} n^2$$
这当然是一道非常简单的习题。按照一般思路，写出来的最自然的代码就是：

s=0
for i in range(11):
    s = s + i**2

print(s)

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集合论的结果告诉我们，全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的，那么，如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢？这是一个颇考读者想象力的问题。当然，如果把答案给出来，又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子，读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。

为了构造这样的双射，一个很自然的想法是，让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射，剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数，它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难，比如我们知道：

1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点，否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。

2、无理数的平方根依然是无理数。

根据这些信息，足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射，然后稍微修改一下，就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。

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集合上的一个等价关系决定了几何的一个划分，反之亦然，这直观上是不难理解的。但是，如果我要问一个有$n$个元素的有限集合，共有多少种不同的划分呢？以前感觉这也是一个很简单的问题，就没去细想，但前天抽象代数老师提到这是一个有相当难度的题目，于是研究了一下，发现里面大有文章。这里把我的研究过程简单分享一下，读者可以从中看到如何“从零到有”的过程。

以下假设有$n$个元素的有限集合为$\{1,2,\dots,n\}$，记它的划分数为$B(n)$。

前期：暴力计算

$n=3$的情况不难列出：
$$\begin{aligned}&\{\{1,2,3\}\},\{\{1,2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\\
&\{\{2,3\},\{1\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\end{aligned}$$

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原则上来讲，同样的算法，如果分别在Python和C++上实现，那么Python的速度肯定比不上C++的。但是Python还被称为“胶水语言”，它允许我们把主要计算的部分用C或C++等高效的语言编写好，然后它作为“粘合剂”把两者粘合在一起。正因为如此，Python才有了各种各样的扩展库，这些库中有不少是用C语言编写的。因此，我们在编写Python程序的时候，如果可以用这些现成的库，速度会快很多。本文就是用Numpy来改进之前的《两百万前素数之和与前两百万素数之和》的计算。

算法本身是没有变的，只是用了Numpy来处理数组计算，代码如下：

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两年前，笔者曾写过《算子与线性常微分方程》两篇，简单介绍了把线形常微分方程算符化，然后通过对算符求逆的方法求得常微分方程的通解。而在这篇文章中，笔者打算介绍关于算符类似的内容：差分算符、微分算符以及与之相关的伯努利数（Bernoulli数）。

我们记$D=\frac{d}{dx}$，那么$Df=\frac{df}{dx}$，同时定义$\Delta_t f(x)=f(x+t)-f(x)$，并且记$\Delta \equiv \Delta_1 =f(x+1)-f(x)$，这里我们研究的$f(x)$，都是具有良好性态的。我们知道，$f(x+t)$在$t=0$附近的泰勒展式为
$$\begin{aligned}f(x+t)&=f(x) + \frac{df(x)}{dx}t + \frac{1}{2!}\frac{d^2 f(x)}{dx^2}t^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3 f(x)}{dx^3}t^3 + \dots\\
&=\left(1+t\frac{d}{dx}+\frac{1}{2!}t^2\frac{d^2}{dx^2}+\dots\right)f(x)\\
&=\left(1+tD+\frac{1}{2!}t^2 D^2+\dots\right)f(x)\end{aligned}$$

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之前笔者曾写过《初试在Python中使用PARI/GP》，简单介绍了一下在Python中调用PARI/GP的方法。PARI/GP是一个比较强大的数论库，“针对数论中的快速计算（大数分解，代数数论，椭圆曲线...）而设计”，它既可以被C/C++或Python之类的编程语言调用，而且它本身又是一种自成一体的脚本语言。而如果仅仅需要高精度的大数运算功能，那么GMP似乎更满足我们的需求。

了解C/C++的读者都会知道GMP（全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库），它是一个开源的高精度运算库，其中不但有普通的整数、实数、浮点数的高精度运算，还有随机数生成，尤其是提供了非常完备的数论中的运算接口，比如Miller-Rabin素数测试算法、大素数生成、欧几里德算法、求域中元素的逆、Jacobi符号、legendre符号等^[来源]。虽然在C/C++中调用GMP并不算复杂，但是如果能在以高开发效率著称的Python中使用GMP，那么无疑是一件快事。这正是本文要说的gmpy2。

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