一枚炮弹以速度v0向上射出，只考虑重力因素，请问炮弹到达多远的距离后就会开始自由下落？

大炮的发射

大炮的发射

对于这个问题，我们首先采取的是高中生的做法。考虑地球重力，也就是说炮弹在做加速度为-g（-9.8m/s2）的匀变速运动。根据公式v2t−v20=2as，可得s=v202g。
此即炮弹能够走得最远距离。

但是看了这条式子，我们会发现，这个“距离”始终是有限的。换一句话说，只要v0不趋于无穷大，s就不会无穷大。但是我们还听到过牛顿这样说过：假如炮弹以某个速度（就是我们现在所所说的第二宇宙速度）飞离地球，它就永远不会回来了。两者不是矛盾吗？

看了之前我写的这篇文章的朋友，也是马上就有头绪了。这个加速度a并不是恒定的。恭喜你，答对了！但具体的情况是怎样的呢？请继续往下看——

设炮弹的路程为s，则在运动过程中：
s″=v′=−GM(r+s)2

令s″=vdvds，代入（这个过程是多么的熟悉）
vdv=−GM(r+s)−2ds


两端积分：∫vdv=∫−GM(r+s)−2ds
12v2=GM(r+s)−1+C

下面的处理有些不同：
当v=v0时，有s=0，则
C=12v20−GMr−1

得出：v2=v20+2GM[(r+s)−1−r−1]
炮弹走最远即当v=0时的s的值。于是有0=v20+2GM[(r+s)−1−r−1]
s=v20r22GM−v20r————（A）

其中又有GM=r2g，g是1kg物体在地球表面所受到的重力，代入
s=v20r2rg−v20=v202g−v20r

若v20r很小，则可以忽略，得到低速近似的伽利略公式：s=v202g
这与文章开头的结果是一致的。

我们发现，当v=√2GMr时，就会出现分母为0的情况，也就是说s−>∞，这时也就是牛顿所说的一去不复返（只是不复返回地球）。于是我们就自然而然地推导出了第二宇宙速度！v=√2GMr

Yeah！欢呼吧！科学应该要这样，尽管一点的成就，也应该雀跃。但是记住，不要沾沾自喜！

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苏剑林. (Jan. 17, 2010). 《【竖直上抛】炮弹能够射多高(第二宇宙速度)？ 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/342

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        title={【竖直上抛】炮弹能够射多高(第二宇宙速度)？},
        author={苏剑林},
        year={2010},
        month={Jan},
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