【竖直上抛】炮弹能够射多高(第二宇宙速度)?
By 苏剑林 | 2010-01-17 | 42461位读者 |一枚炮弹以速度$v_0$向上射出,只考虑重力因素,请问炮弹到达多远的距离后就会开始自由下落?
对于这个问题,我们首先采取的是高中生的做法。考虑地球重力,也就是说炮弹在做加速度为
此即炮弹能够走得最远距离。
但是看了这条式子,我们会发现,这个“距离”始终是有限的。换一句话说,只要$v_0$不趋于无穷大,s就不会无穷大。但是我们还听到过牛顿这样说过:假如炮弹以某个速度(就是我们现在所所说的第二宇宙速度)飞离地球,它就永远不会回来了。两者不是矛盾吗?
看了之前我写的这篇文章的朋友,也是马上就有头绪了。这个加速度a并不是恒定的。恭喜你,答对了!但具体的情况是怎样的呢?请继续往下看——
设炮弹的路程为s,则在运动过程中:
$$s''=v'=-\frac{GM}{(r+s)^2}$$
令$s''=v \frac{dv}{ds}$,代入(这个过程是多么的熟悉)
$$vdv=-GM(r+s)^{-2} ds$$
两端积分:$\int vdv=\int -GM(r+s)^{-2} ds$
$$\frac{1}{2} v^2=GM(r+s)^{-1} +C$$
下面的处理有些不同:
当$v=v_0$时,有s=0,则
$$C=\frac{1}{2} v_0^2 - GMr^{-1}$$
得出:$v^2=v_0^2+2GM[(r+s)^{-1}-r^{-1}]$
炮弹走最远即当v=0时的s的值。于是有$0=v_0^2+2GM[(r+s)^{-1}-r^{-1}]$
$s=\frac{v_0^2 r^2}{2GM-v_0^2 r}$————(A)
其中又有$GM=r^2 g$,g是1kg物体在地球表面所受到的重力,代入
$$s=\frac{v_0^2 r}{2rg-v_0^2}=\frac{v_0^2}{2g-\frac{v_0^2}{r}}$$
若$\frac{v_0^2}{r}$很小,则可以忽略,得到低速近似的伽利略公式:$s=\frac{v_0^2}{2g}$
这与文章开头的结果是一致的。
我们发现,当$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$时,就会出现分母为0的情况,也就是说$s->\infty$,这时也就是牛顿所说的一去不复返(只是不复返回地球)。于是我们就自然而然地推导出了第二宇宙速度!$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$
Yeah!欢呼吧!科学应该要这样,尽管一点的成就,也应该雀跃。但是记住,不要沾沾自喜!
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March 28th, 2010
学习了。。。。
July 19th, 2010
楼主,您好!我有一个问题想向您请教:A式是怎么得出来的?
过程应该算是很清楚了吧?
一个很简单的化简过程而已...
$0=v_0^2+2GM[(r+s)^{-1}-r^{-1}]$
$\frac{2GM}{r+s}=\frac{2GM}{r}-v_0^2$
$s=\frac{1}{2GM//r-v_0^2}*2GM-r$
所以...
原来如此啊。我没有把负数次幂化成分数形式,难怪移来移去只能得出一堆多项式。楼主(站长)的数学功底实在是太高了!
站长,我在“星体位置计算”那帖中的74楼给出了我的修正方案,麻烦您帮我看看这样做对不对。谢谢!
传送门:http://www.astronomy.com.cn/bbs/ ... 9&fromuid=49990。
为什么我打不开您的链接呢?
July 20th, 2010
不好意思啊,复制链接的时候出了问题。
PS:我把您的这个由初始速度求距离的式子经过改动,可以算出发射一枚炮弹到月球(准确地说是发射到地月引力平衡点处)所需要的初始速度哦。我采用了凡尔纳小说《环绕月球》里的数据,算出来初始速度约为11068米/秒,跟书中作者用另一个式子计算出来的十分接近!
我也做过类似计算,应该是说发射到月球和地球连线中,对物体吸引力相等的那一点吧。这个模型其实太理想了,需要假设月球是不动的才行。
或许可以针对运动的月球设计一条轨道...