科学空间|Scientific Spaces

本文不是微积分教程，而是发表自己学习中的一些看法，以及与同好们讨论相关问题。

拿起任何一本“微积分”教程，都可以看见那专业而严格的数学语言，因此很多人望而生畏。的确，由于牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，因此引发了第二次数学危机。经过法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的努力，使得微积分有了前所未有的严密化，克服了第二次数学危机。加之后来的第三次数学危机，数学就更加严密了。

但是对于初学者，严密化的微积分令人十分费解。因此，我们不妨按照微积分的创立顺序，即“不严密——严密”的顺序来学习。这样不仅能够让我们更高效率地学习，而且增加学习数学的兴趣。

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自从上次写了关于微积分中的极限学习后，就很长的时间没有与大家探讨微积分的学习了（估计有20多天了吧）。启事，我自己也是从今年的9月下旬才开始系统地学习微积分的，到现在也就一个月的时间吧。学习的内容有：集合、函数、极限、导数、微分、积分。不过都是一元微积分，多元的微积分正在紧张地进修中......

现在不妨和大家探讨一下关于微积分中的最基本内容——“导数”的学习。

其实，用最简单的说法，如果存在函数$f(x)$，那么它的导数（一阶导数）为
$$\lim_{\Delta x->0} f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

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二体运动

在上一回的讨论中，我们已经解决了大部分的问题，并且表达了找到r或者$\theta$关于时间t的函数的希望。在最后的内容中，我们做了以下工作：

由(7)得到$\dot{\theta}=h/r^2$，代入(6)得到：
$$\ddot{r} -h^2/r^3=-\frac{\mu}{r^2}\tag{10}$$这是一个二阶微分方程，它的解很容易找出，但是这个积分太复杂：
$$\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr}=h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2}$$
$\dot{r}d\dot{r}=(h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2})dr$，两端积分
$$\dot{r}^2={2\mu}/r-h^2/r^2+K_1\tag{11}$$$$\Rightarrow {dt}/{dr}=\frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}$$
$t=\int \frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}dr$

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自由落体公式-示意图

自由落体的一般定义是：只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素，忽略其他的运动和大气摩擦等因素，物体从静止（相对于吸引天体）开始接近吸引天体的运动。根据这个定义，假设地球为一个均匀球体，半径为r，质量为M，物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t，或者根据时间t求h。

令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离，忽略物体的小质量，那么可以列出微分方程：
$$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}\tag{1}$$并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$

在实际应用中，我们不必求出这道微分方程的精确解，因为这个解极其麻烦，在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。

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我要上学了

越来越佩服前人，说出了“光阴似箭，日月如梭”的真理。是呀，期末考试仿佛只是在昨天，今天已经又要上学了；俯仰之间，一个月的时间就过去了。

毫无疑问，又因为我的懒惰和不坚持，浪费了我很多的时间。回想一下寒假，我究竟收获了什么呢？主要是两个方面吧：学术和情感。

学术上，主要是数学和天文学里面的内容。数学我主要是深入了微积分方面的内容，把微积分的思想深刻了一点点，把微分方程（组）熟悉了一点点。我有一种很熟悉的感觉：现在自学高等数学，就好比我之前在小学时间学习中学数学。那时候超傻，书本上说了$\lim_{\Delta x->0} f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$，我看不懂这个式子，整天郁闷$f(x)$是不是指$f\cdot (x)$。不过尽管那时候不懂这些，还是懂应用，我用导数最基本的定义去求极值，得出了一些有趣的发现，使我的兴趣倍增。现在学习微积分也是这样的感觉，我觉得我仅仅是很显浅地接触到，还有很多等待仔细琢磨....

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丘成桐 司徒哲阳摄

1月31日晚，华裔数学家丘成桐收到以色列教育部部长兼沃尔夫基金会理事长Gideon Sa’ar亲笔签名的信，通知他获得了2010年的沃尔夫数学奖，原因是他“在几何分析方面的贡献已对几何和物理的许多领域产生深远而引人瞩目的影响”。

1978年开始颁发的沃尔夫奖每年评选一次，分别奖励在农业、化学、数学、医药、物理以及艺术领域中取得突出成绩的人士。其中沃尔夫数学奖影响很大。

今年的颁奖典礼定于5月13日在耶路撒冷举行，丘成桐将与美国数学家丹尼斯·沙利文分享10万美元的数学奖奖金。这是丘成桐继菲尔茨奖后，再次获得国际最顶尖的数学大奖。菲尔茨奖和沃尔夫奖双奖得主，迄今只有13位。

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弹簧

上一次我从密度的角度讨论了旋转的弹簧伸长的问题，由于对弹性形变等问题是初涉，所以花了好大功夫。这几天重新认识了一下胡克定律，并且从另外的角度给出了这道题目的一个相对简单的解法。在此把它记录下来，并写写我对弹性形变的一些粗浅看法。

在解答的过程中，我再次体验到了殊途同归的感觉，科学就是这样的奇妙，一个目的地往往有着不止一条道路，不同的道路会给我们不同的科学视觉，最终领略到不同的科学美景；多走几条路，更能够让我们从不同的角度领略美不胜收的科学，这也是众多旅游爱好者不辞千里地观赏美景的原因！

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级数是数学的一门很具有实用性的分支，而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积，也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中，$\ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n \ln(f(i))=k$，因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$，也就是说，级数求积也可以变为级数求和来计算，换言之我们可以把精力放到级数求和上去。

为了解决一般的级数求和问题，我们考虑以下方程的解：
$$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)\tag{1}$$其中g(x)是已知的以x为变量的函数式，$\epsilon $是常数，初始条件是$f(k)=b$，要求f(x)的表达式。

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