关于自由落体公式的简单修正
By 苏剑林 | 2010-04-04 | 65409位读者 |自由落体的一般定义是:只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素,忽略其他的运动和大气摩擦等因素,物体从静止(相对于吸引天体)开始接近吸引天体的运动。根据这个定义,假设地球为一个均匀球体,半径为r,质量为M,物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t,或者根据时间t求h。
令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离,忽略物体的小质量,那么可以列出微分方程:
$$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}\tag{1}$$并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$
在实际应用中,我们不必求出这道微分方程的精确解,因为这个解极其麻烦,在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。根据泰勒级数展开式
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)\frac{x^2}{2!}+f'''(x_0)\frac{x^3}{3!}+...$$
对于上述的微分方程(1),我们已经有了$s(0)=h,s'(0)=0,s''(0)=-\frac{GM}{(r+h)^2}$,由于$\frac{d\ddot{s}}{dt}=\dot{s}\frac{d\ddot{s}}{ds}$,并且不难证明$\frac{d\ddot{s}}{ds}$是有限的,所以$s'''(0)=0$,于是我们可以写出微分方程的近似解:
$$s=h-\frac{GM}{2(r+h)^2}t^2\tag{2}$$
它的截断误差是$O(t^4)$。如果求落到地表所用时间,那么有s=0,则
$$h=\frac{GM}{2(r+h)^2}t^2\tag{3}$$
另外,我们还有$GM=r^2 g$,g是地球表面的重力加速度。于是(3)又可以改写成
$$h=\frac{r^2 g}{2(r+h)^2}t^2\tag{4}$$
上述精确度有多高?我们不妨从h很小和h很大两方面来验证:
首先对于h远远小于r的情况,我们有$\frac{r^2}{(r+h)^2}\approx 1$,于是(4)退化成
$$h=\frac{g}{2}t^2\tag{5}$$这正是我们在高中接触到的自由落体的公式!
其次是对于r远远小于h的情况,我们不妨用这条公式求一下之前的一道题目:
一个物体自由下落, 9天后到达地面,问这个物体刚开始下落时的高度。
由于r远远小于h,得到:
$$h(r+h)^2=\frac{r^2 g}{2}t^2 \approx h^3\tag{6}$$
我们把$r=6371000m,t=9*86400s,g=9.8m//s^2$代入(6),可以计算得到:
$h=515482465m=51.5*10^4 km$,这与官方答案几乎完全相等!
由此可见,修正后的自由落体公式具有很高的正确性!因此,参加天文奥赛的朋友不妨掌握这公式,或者评卷人还会给大家额外的加分呢!(创意分^_^)
转载到请包括本文地址:https://spaces.ac.cn/archives/584
更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》
如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。
如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!
如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Apr. 04, 2010). 《关于自由落体公式的简单修正 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/584
@online{kexuefm-584,
title={关于自由落体公式的简单修正},
author={苏剑林},
year={2010},
month={Apr},
url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/584}},
}
April 4th, 2010
顶一个,太强了……
貌似很精彩的样子!我也很喜欢做这种思考
May 2nd, 2010
很复杂
最后的形式貌似已经很简单了...
过程会比较复杂的,毕竟这已经涉及到高等数学了。
May 16th, 2010
我终于看懂了,不容易啊啊啊啊
July 27th, 2010
咦,我的计算结果不是约51.5万公里,而是约49.4万公里,不过也十分接近了。
July 27th, 2010
我把式4倒过来,变成了已知距离,求时间的近似算式,采用凡尔纳小说中的数据,计算出发射一枚炮弹到月球需要约52.5万秒,约6天时间(整个计算分为地球表面-地月引力平衡点-月球表面这两段),也不知道小说中计算出需要约35万秒,也就是4天多的时间用的是哪种算式。
(4)式子精确度有限。
而且这个问题不能只是考虑地球的吸引,还要考虑月球的吸引。
如果只考虑月球的引力,可以参考
http://cnao.org/index.php/archives/73/
这样的结果大概是4.8天...
还有就是月球是动态...
July 28th, 2010
喔,原来可以简化成椭圆轨道啊。我去试一试。那两本登月小说虽然写得很精彩,但有两处瑕疵:1、忽略了运动的月球对炮弹轨迹的摄动;2、乘客应该在炮弹刚发射出去就已经出现失重情况。
如果乘客在炮弹之中,炮弹竖直向上发射,那么乘客一开始只会感到超重。至于杨利伟在宇宙飞船中失重等情况,主要是是因为飞船在做圆周运动(此时发动机并不提供主要动力动力),其次才是因为离地球较远。
July 28th, 2010
我是这样认为的:在行进路上的每一点上乘客都跟炮弹车厢有相同的速度,因此乘客即使停留在没有任何支撑的地方也不应落下。如果乘客不能悬空的话,那就等于说炮弹车厢在空间里比乘客行进得更快,要不然的话,炮弹里的物体是不会向地板靠近的。而这是不可能的,因为炮弹里的一切东西都跟炮弹有同样的加速度,在重力的作用下同等地降低,跟车厢的相对关系上是处于静止状态中的。
是的,你说得对...
我把情况混淆了。这也就是说,炮弹发射之后,就没有任何动力源了。
不过发射瞬间,人受到很大的压力...
嗯,那种震动确实很大、很致命,据书中说,发射初始速度超过了16公里/秒。这个速度都差不多能把整个发射体压成一张纸片了。不过毕竟不能过分地苛责,这是一部在枪炮时代写成的小说。
速度大倒不是压力大的原因,压力大的原因是加速度大
我认同。