科学空间|Scientific Spaces

在文章《新理解矩阵3》：行列式的点滴中，笔者首次谈及到了行列式的几何意义，它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而，这篇文章写于我初学矩阵之时，有些论述并不严谨，甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候，研究了超复数的相关内容，而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用，因此把行列式的几何意义重新研究了一翻，修正了部分错误，故发此文，与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,...,\boldsymbol{x}_n$的集合
$$A=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$$
从代数的角度来看，这构成了一个矩阵；从几何的角度来看，这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如：平行四边形就是“平行二维体”，平行六面体就是“平行三维体”，高阶的只需要相应类比，不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

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一个月没更新了，这个月花了不少时间在黎曼几何的理解方面，有一些体会，与大家分享。记得当初孟岩写的《理解矩阵》，和笔者所写的《新理解矩阵》，读者反响都挺不错的，这次沿用了这个名称，称之为《理解黎曼几何》。

生活在二维空间的蚂蚁

黎曼几何是研究内蕴几何的几何分支。通俗来讲，就是我们可能生活在弯曲的空间中，比如一只生活在二维球面的蚂蚁，作为生活在弯曲空间中的个体，我们并没有足够多的智慧去把我们的弯曲嵌入到更高维的空间中去研究，就好比蚂蚁只懂得在球面上爬，不能从“三维空间的曲面”这一观点来认识球面，因为球面就是它们的世界。因此，我们就有了内蕴几何，它告诉我们，即便是身处弯曲空间中，我们依旧能够测量长度、面积、体积等，我们依旧能够算微分、积分，甚至我们能够发现我们的空间是弯曲的！也就是说，身处球面的蚂蚁，只要有足够的智慧，它们就能发现曲面是弯曲的——跟哥伦布环球航行那样——它们朝着一个方向走，最终却回到了起点，这就可以断定它们自身所处的空间必然是弯曲的——这个发现不需要用到三维空间的知识。

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曲率的独立分量

黎曼曲率张量是一个非常重要的张量，当且仅当它全部分量为0时，空间才是平直的。它也出现在爱因斯坦的场方程中。总而言之，只要涉及到黎曼几何，黎曼曲率张量就必然是核心内容。

已经看到，黎曼曲率张量有4个指标，这也意味着它有$n^4$个分量，$n$是空间的维数。那么在2、3、4维空间中，它就有16、81、256个分量了，可见，要计算它，是一件相当痛苦的事情。幸好，这个张量有很多的对称性质，使得独立分量的数目大大减少，我们来分析这一点。

首先我们来导出黎曼曲率张量的一些对称性质，这部分内容是跟经典教科书是一致的。定义
$$R_{\mu\alpha\beta\gamma}=g_{\mu\nu}R^{\nu}_{\alpha\beta\gamma} \tag{50} $$
定义这个量的原因，要谈及逆变张量和协变张量的区别，我们这里主要关心几何观，因此略过对张量的详细分析。这个量被称为完全协变的黎曼曲率张量，有时候也直接叫做黎曼曲率张量，只要不至于混淆，一般不做区分。通过略微冗长的代数运算（在一般的微分几何、黎曼几何或者广义相对论教材中都有），可以得到
$$\begin{aligned}&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\mu\alpha\gamma\beta}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\alpha\mu\beta\gamma}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=R_{\beta\gamma\mu\alpha}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}+R_{\mu\beta\gamma\alpha}+R_{\mu\gamma\alpha\beta}=0
\end{aligned} \tag{51} $$

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令人兴奋的是，我们导出黎曼曲率的途径，还能够让我们一瞥高斯-博内公式（ Gauss–Bonnet formula）的风采，真正体验一番研究内蕴几何的味道。

高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，它建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系。而我们从一条几何的路径出发，结合一些矩阵变换和数学分析的内容，逐步导出了测地线、协变导数、曲率张量，现在可以还可以得到经典的高斯-博内公式，可见我们在这条路上已经走得足够远了。虽然过程不尽善尽美，然而并没有脱离这个系列的核心：几何直观。本文的目的，正是分享黎曼几何的一种直观思路，既然是思路，以思想交流为主，不以严格证明为目的。因此，对于大家来说，这个系列权当黎曼几何的补充材料吧。

形式改写

首先，我们可以将式$(48)$重写为更有几何意义的形式。从

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由于自行车之旅的原因，这篇文章被搁置了一个星期，其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中，发现它应用的基本方向和方法，从而提升对它的认识。

例子2：

$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$

这也是一种比较常见的类型，它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$，对于这种形式，我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$，这样的目的很简单，就是把分母给消去了，与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现，纵使这样能够消去分母，使得第一次积分变得简单，但是到了第二次积分的时候，我们发现，它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分，使我们不能继续进行下去，因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。

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趁着早上有空，就赶紧把这篇文章写好吧。下午高考成绩要公布了，公布后也许又会有一段时间忙碌了。这应该是“费曼积分法”系列最后一篇文章了。它主要讲的还是费曼积分法的一个实例。不同的是，这是BoJone首次独立地用费曼积分法解决了一个问题。之前提到的一些例子，都是书本提供并结合了提示，BoJone才把它们算出来的。所以这个问题有着点点纪念意义。

数学研发论坛上wayne曾求证这样的命题：

$\int_0^{\infty}\frac{f(x,2m-1)-\sin x}{x^{2m+1}}dx$其中，f(x,2m-1)表示sinx的2m-1阶泰勒展开
如m=1时，
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}dx$$
m=2时
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\frac{x^3}{6}-\sin x}{x^5}dx$$
借助软件我发现结果是：
$\frac{\pi(-1)^{m-1}}{2(2m)!}$

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简介

最近在学习量子力学的时候，无意中涉及到了许多矩阵（线性代数）、群论等知识，并且发现其中有不少相同的思想，其中主要是用算子来表示其对函数的作用和反作用。比如我们可以记$D=\frac{d}{dx}$，那么函数$f(x)$的导数就可以看作是算子D对它的一次作用后的结果，二阶导数则是作用了两次，等等。而反过来，$D^{-1}$就表示这个算子的反作用，它把作用后的函数（像）还原为原来的函数（原像），当然，这不是将求导算子做简单的除法，而是积分运算。用这种思想来解答线性微分方程，有着统一和简洁的美。

线性微分方程是求解一切微分方程的基础，一般来说它形式比较简单，多数情况下我们都可以求出它的通解。在非相对论性量子力学的薛定谔方程中，本质上就是在求解一道二阶偏线性微分方程。另一方面，在许多我们无法求解的非线性系统中，线性解作为一级近似，对于定性分析是极其重要的。

一阶线性常微分方程

这是以下所有微分方程求积的一个基础形式，即$\frac{dy}{dx}+g(x)y=f(x)$的求解。这是通过常数变易法来解答的，其思想跟天体力学中的“摄动法”是一致的，首先在无法求解原微分方程的时候，先忽略掉其中的一些小项，求得一个近似解。即我们先求解
$$\frac{dy}{dx}+g(x)y=0$$

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我从来不想在教科书上的定义上纠结太多，因为我知道，真正对定义的理解，需要在长期的实践应用中慢慢感悟的，所以我们唯一需要做的是继续我们的研究。

但是前些天有些朋友问到我关于微分的理解，比如“dx是不是一定很小”等等，所以决定在此写写我的理解。

与微分联系很紧密的，也是我们很熟悉的东西，当然是“增量 ”啦，比如$\Delta y$、$\Delta x$等等，增量显然是可以任意大的（只要自变量还在定义域内）。那么考虑一个函数$y=f(x)$，函数的微分是怎么出现的呢？那是因为我们直接研究函数的增量是比较麻烦的，所以就引入了微分dy，当$\Delta x$很小时，它代表增量的主项：$\Delta y=dy+o(\Delta x)=A \Delta x+o(\Delta x)$，A是一个常数。

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