科学空间|Scientific Spaces

=====大学学习=====

上大学已经一个多月了，除去军训的两周和国庆放假的一周，到现在已经是第三周上课了。我是数学专业的，由于是那个勷勤创新班，它希望我们都向研究型数学的方向发展，所以给我们“更多的自由研究时间”，所以课程比一般的班还少一点。由于高中已经对高等数学有个大概的了解，所以一开始让很多同学都喊苦的数学分析、解析几何于我而言都还是比较容易接受的。但从另外一个角度上来讲，我感觉我学得快的原因，倒不全是以前的积累，而是因为个人的学习方式。我不喜欢跟着老师的步伐走，我喜欢而且需要深入地思考和理解一个问题，希冀达到一理通百理明的效果，而不是做完一题紧接着下一题。因为我认为这种竞赛式的学习不能给我们带来实质性的进步，而且有可能抹杀了我们的创造力。

1979年爱因斯坦邮票

没有应用的数学是很枯燥乏味的，数学不能脱离物理、化学等领域。当然“应用”这个词有很广泛的意思，它不一定在实际生活中起到了立竿见影的作用，而是所有在非数学领域中体现了数学之美的例子都可以叫做数学应用，或者有趣的数学。所以，在经历了一两周纯粹地研究数学之后，我感觉我不能再这样下去了，与其零散地涉猎各个方面的知识，倒不如现在开始就系统地学习一些学科以外的科学知识。于是，我决定重拾高中还没有完成的事情——学习相对论和量子力学——所谓现代物理的两大支柱。

点击阅读全文...

在狭义相对论发表之前和之后，都有不少实验从不同角度论证了它的正确性。这些实验大多数是实际测量得出结果的，当然也存在着一些“理想实验”，这些实验只需要一定的逻辑推理，而实际上是无法完成的。下面就是我很久之前在某本书（很抱歉，我真的忘记书名了）看到的一个用来推翻光速可叠加的伽利略变换的理想实验。它只用寥寥几句，就好像已经证明了“c+c=c”（c是真空中的光速）的事实。可是“c+c=c”在狭义相对论上是作为原理出现的，是不可能通过逻辑推理来证明的。事实究竟如何？我们先来看这个实验。

光速不变的理想实验

任意选定一个坐标原点。设想原点的正北方$c\cdot t_0$处有一架以光速$c$朝南运行的飞机1；原点的正西方$c\cdot t_0$处有一架以光速$c$朝东运行的飞机2。假设就这样匀速运动着，显然，$t_0$时间后，将会发生惨剧（飞机相撞）。

点击阅读全文...

前边我承诺过会写一些关于自己对矩阵的理解。其实孟岩在《理解矩阵》这三篇文章中，已经用一种很直观的方法告诉了我们有关矩阵以及线性代数的一些性质和思想。而我对矩阵的理解，大多数也是来源于他的文章。当然，为了更好地理解线性代数，我还阅读了很多相关书籍，以求得到一种符合直觉的理解方式。孟岩的blog已经很久没有更新了，在此谨引用他的标题，来叙述我对矩阵的理解。

当然，我不打算追求那些空间、算子那些高抽象性的问题，我只是想发表一下自己对线性代数中一些常用工具的看法，比如说矩阵、行列式等。同时，文章命名为“理解矩阵”，也就是说这不是矩阵入门教程，而是与已经有一定的线性代数基础的读者一起探讨关于矩阵的其他理解方式，仅此而已。我估计基本上学过线性代数的读者都能够读懂这篇文章。

首先，我们不禁要追溯一个本源问题：矩阵是什么？

点击阅读全文...

上一篇文章中我从纯代数运算的角度来讲述了我对矩阵的一个理解，可以看到，我们赋予了矩阵相应的运算法则，它就在代数、分析等领域显示出了巨大作用。但是纯粹的代数是不足够的，要想更加完美，最好是找到相应的几何对象能够与之对应，只有这样，我们才能够直观地理解它，以达到得心应手的效果。

几何理解

我假设读者已经看过孟岩的《理解矩阵》三篇文章，所以更多的细节我就不重复了。我们知道，矩阵A

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$$

事实上由两个向量$[a_{11},a_{21}]^T$和$[a_{12},a_{22}]^T$（这里的向量都是列向量）组成，它描述了一个平面（仿射）坐标系。换句话说，这两个向量其实是这个坐标系的两个基，而运算$y=Ax$则是告诉我们，在$A$这个坐标系下的x向量，在$I$坐标系下是怎样的。这里的$I$坐标系就是我们最常用的直角坐标系，也就是说，任何向量（包括矩阵里边的向量），只要它前面没有矩阵作用于它，那么它都是在直角坐标系下度量出来的。

点击阅读全文...

破解数学猜想

王骁威

今天在看《广州日报》时，偶然发现了一个不曾听闻的名字——王骁威。

他，跟我一样是一个90后，是韶关学院的大四学生，而现在，他多了一点名头：“仅用1表示数问题中的素数猜想”这一难题的破解者。

“仅用1表示数问题中的素数猜想”出现在加拿大数学家Richard K·Guy的著作《数论中未解决的问题》中，是上世纪50年代，加拿大数学家Richard K·Guy提出一个数论猜想：对于给定的素数p，$f(p)=f(p-1)+1$是否能成立。其中，“仅用1表示数”指的是只用1通过加法和乘法以及括号来表示自然数，对于给定的自然数n，用1来表示时，1的最少个数记为$f(n)$。据说在之前就有诸多数学家论证过，在3亿之前的素数里，上述猜想是成立的。

但是王骁威通过举出反例证否了这个命题，他指出p=353942783时这个公式并不成立。他是经过四个月的钻研，王骁威运用集合论的运算、分析、优化，才成功发现这个猜想的反例的。发现反例之后，王骁威陷入兴奋，把整理成的报告寄给国内几家杂志社，结果却令他失望，几家杂志社对他的论文均不感兴趣。“我也怀疑过自己的努力是否值得，但对数学的强烈兴趣让我坚持下来。”王骁威说自己将论文译成英文，英文名为《A counterexample to the prime conjecture of expressing numbers using just ones》（中文名为《仅用1表示数中素数猜想的一个反例》），投往全球最权威的数论杂志———美国艾斯维尔出版社的《Journal of Number Theory》（数论杂志），国外专家的青睐终于让他收获成功的喜悦，论文发表在杂志第133期（明年二月）上。数学大师丘成桐也通过邮件与王骁威交流，并对他表示肯定。

点击阅读全文...

本文其实好几个月前就已经写好了，讲的是我最感兴趣的天体力学领域的故事，已经发表在2012年11月的《天文爱好者》上。

天体力学巨匠——拉普拉斯

作为一本天文科普杂志，《天文爱好者》着眼于普及天文，内容偏向于有趣的天体物理等，比较少涉及到天体力学。事实上，在天文发展史中，天体力学——研究天体纯粹在万有引力作用下演化的科学——占据了相当重要的地位。过去，天文就被划分为天体力学、天体物理以及天体测量学三个大块。只是在近现代，由于电子计算机的飞速发展，天体力学的多数问题都交给了计算机数值计算解决，因此这一领域逐渐淡出了人们视野。不过，回味当初那段天体力学史，依然让我们觉得激动人心。

首先引入“天体力学（Celestial mechanics）”这一术语的是法国著名数学家、天文巨匠拉普拉斯。他的全名为皮埃尔?西蒙?拉普拉斯（Pierre?Simon marquis de Laplace），因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父。他和生活在同一时代的法国著名数学家拉格朗日以及勒让德（Adrien-Marie Legendre）并称为“三L”。

神秘的少年时期

由于1925年的一场大火，很多拉普拉斯的生活细节资料都丢失了。根据W. W. Rouse Ball的说法，他可能是一个普通农民或农场工人的儿子，1749年3月23日出生于诺曼底卡尔瓦多斯省的伯蒙特恩奥格。少年时期，拉普拉斯凭借着自己的才能和热情，在富人邻居的帮助下完成了学业。他父亲希望这能使他将来以宗教为业，16岁时，他被送往卡昂大学读神学。但他很快在数学上显露头角。

点击阅读全文...

不可交换

很自然会想到把这种方法延伸到变系数微分方程的求解，也许有读者回去自己摆弄了一下却总得不到合适的解而感到困惑。在这里群的非Abel性就体现出来了，首先用一个例子来说明一下，我们考虑算子的复合
$$(D-x)(D+x)=D^2-x^2+(Dx-xD)$$

我们要谨慎使用交换律，我们记$[P,Q]=PQ-QP$

其中P和Q是两个算子，此即量子力学中的“对易式”，用来衡量算子P和算子Q的可交换程度，当然，它本身也是一个算子。我们先来求出$[D,x]$给出了什么（要是它是0的话，那就表明运算可以交换了）。究竟它等于什么呢？直接看是看不出的，我们把它作用于一个函数：
$$[D,x]y=(Dx-xD)y=D(xy)-xDy=yDx+xDy-xDy=y$$

由于“近水楼台先得月”，所以$Dxy$表示x先作用于y，然后D再作用于(xy)；而$xDy$表示D先作用于y，然后x再作用于Dy。最终我们得到了

点击阅读全文...

传说中的“末日”，正好是中国传统的冬至节。它的到来并没有引起我们的恐慌，反而，让我有一颗更加平静的心去享受“过冬”的乐趣。

冬至在我们农村是很重要的一个节日，一般来说全家人都要聚在一起吃顿饭，还会包粽子等等。来到广州之后，回去就自然不大方便了，不过我还是想找找那种节日的感觉。于是，下午我就跑到华师西门那里，看看有没有粽子卖。不过发现西门那里基本上都是一些风味小吃，没有那久违的粽子香。不过，忽然想起小飞说她们那里冬至是吃汤圆的，好吧，入乡随俗，我也买了两包汤圆回宿舍煮啦。

点击阅读全文...