《新理解矩阵2》：矩阵是什么？

上一篇文章中我从纯代数运算的角度来讲述了我对矩阵的一个理解，可以看到，我们赋予了矩阵相应的运算法则，它就在代数、分析等领域显示出了巨大作用。但是纯粹的代数是不足够的，要想更加完美，最好是找到相应的几何对象能够与之对应，只有这样，我们才能够直观地理解它，以达到得心应手的效果。

几何理解

我假设读者已经看过孟岩的《理解矩阵》三篇文章，所以更多的细节我就不重复了。我们知道，矩阵A

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$$

事实上由两个向量$[a_{11},a_{21}]^T$和$[a_{12},a_{22}]^T$（这里的向量都是列向量）组成，它描述了一个平面（仿射）坐标系。换句话说，这两个向量其实是这个坐标系的两个基，而运算$y=Ax$则是告诉我们，在$A$这个坐标系下的x向量，在$I$坐标系下是怎样的。这里的$I$坐标系就是我们最常用的直角坐标系，也就是说，任何向量（包括矩阵里边的向量），只要它前面没有矩阵作用于它，那么它都是在直角坐标系下度量出来的。

（事实上，单位矩阵I是默认的直角坐标系，这一说法并非总是成立的，但是我们现在寻求直观的理解方式，我们就用最简单的东西来实行。）

太多的文字未必能够把问题说清楚，我们需要一张图来解释一下：

图上所用的矩阵A是
[3,2]
[1,3]
这构成了一个仿射坐标系，在这个坐标系下，有一个向量$x=[2,2]^T$，它在直角坐标系下测得的坐标为$[10,8]^T$，现在我们不难发现，直接用矩阵乘法来计算，有
$$Ax=[3\cdot 2+2\cdot 2,1\cdot 2+3\cdot 2]^T=[10,8]^T$$
正是我们所期待的！

为什么会有这样的特点？其实这源于我们对矩阵乘法的定义，反过来，如果我们用这样的几何方式来定义矩阵乘法，那么我们也将得到在书本上了解到的矩阵乘法计算公式。更高阶的矩阵也可以作同样的类比。推导过程只是一道很简单的练习题，读者不妨自己动笔尝试一下？

现在我们又回到孟岩文章上的说法了，对于矩阵作用于一个向量（对应的一个点），我们既可以看作点没有变，只不过是坐标系从直角坐标系变换为仿射坐标系而已；另一方面，我们也可以看做矩阵把直角坐标系的一个A'点“运动”（变换）到了A点。这两种说法都行，正如孟岩所说的“运动是相对的”。更正确地讲，两种说法都要同时被提及，才算是最好的理解。矩阵是一个点到另外一个点的变换，变换的方式就是坐标系的变换。

当然，上面只讨论了矩阵乘以向量的乘法，那么矩阵乘以矩阵呢？比如$AB$，我们就可以看作是矩阵$B$给出了一个坐标系，但是这个坐标系的各个分量是在$A$坐标系下测量得到的，而$A$是在直角坐标系下测量得到的，所以要把$B$的各个分量（列向量）与矩阵A作乘法后，才得到了这个仿射坐标系在直角坐标系下的“像”。这很直接地导致了矩阵乘以矩阵的计算公式，也很显然地回答了“为什么n阶方阵只有与n阶方阵相乘才有意义”，因为两者要在同一空间中测量，才能够完整而唯一地把测量值确定下来。正如，在n+1维的空间中讨论n个n维向量是没有意义的，因为在n+1维空间中的观测者看来，它们只不过是一个“面”，多出的一个维度可以随意变化；在n维空间中讨论n+1维向量就更没有意义了，因为维度根本就不够用。

有了这个直观的几何意义，很多问题看起来几乎都是显然的了，比如那些行列式问题，还有相似矩阵等等，这将在下回谈到。

张量介绍

我们已经大概了解到，数字的有序组合产生了向量，向量的有序组合产生了矩阵。这样两个新构造出来的对象，作用一个比一个大。那么有人会联想到：矩阵的有序组合，就可以产生一个“立方阵”，它的功能会不会更加强大？更一般的，n维立方阵呢？这种联想是有道理的，数学上也有这样的研究对象，它就是张量。

最通俗的说法，n阶张量就是一个n维立方阵，所以0阶张量就对应一个数，向量、矩阵分别对应1阶和2阶张量，我们所说的三维立方阵，就是3阶张量啦。当然，张量属于很高深的数学理论，它的性质和作用不可能这么简单就说清楚了。回想当年，爱因斯坦就是用张量分析作为工具，建立起他那伟大的广义相对论的。如果有机会的话，我们一定会重新造访它。

接下来，我们还是回到矩阵问题，谈谈矩阵的行列式。

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