科学空间|Scientific Spaces

随着MathJax的出现和流行，在网页上显示数学公式便逐渐有了标准答案。然而，MathJax（包括其竞品KaTeX）只是负责将网页LaTeX代码转化为数学公式，对于自适应分辨率方面依然没有太好的办法。像本站一些数学文章，因为是在PC端排版好的，所以在PC端浏览效果尚可，但转到手机上看就可能有点难以入目了。

经过测试，笔者得到了一个方案，让MathJax的数学公式也能像图片一样，随着窗口大小而自适应缩放，从而尽量保证移动端的显示效果，在此跟大家分享一波。

背景思路

这个问题的起源是，即便在PC端进行排版，有时候也会遇到一些单行公式的长度超出了网页宽度，但又不大好换行的情况，这时候一个解决方案是用HTML代码手动调整一下公式的字体大小，比如

<span style="font-size:90%">
    \begin{equation}一个超长的数学公式\end{equation}
</span>

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随着多模态LLM的方兴未艾，VQ（Vector Quantization）的地位也“水涨船高”，它可以作为视觉乃至任意模态的Tokenizer，将多模态数据统一到自回归生成框架中。遗憾的是，自VQ-VAE首次提出VQ以来，其理论并没有显著进步，像编码表的坍缩或利用率低等问题至今仍亟待解决，取而代之的是FSQ等替代方案被提出，成为了VQ有力的“竞争对手”。

然而，FSQ并不能在任何场景下都替代VQ，所以VQ本身的改进依然是有价值的。近日笔者读到了《Restructuring Vector Quantization with the Rotation Trick》，它提出了一种旋转技巧，声称能改善VQ的一系列问题，本文就让我们一起来品鉴一下。

回顾

早在五年前的博文《VQ-VAE的简明介绍：量子化自编码器》中我们就介绍过了VQ-VAE，后来在《简单得令人尴尬的FSQ：“四舍五入”超越了VQ-VAE》介绍FSQ的时候，也再次仔细地温习了VQ-VAE，还不了解的读者可以先阅读这两篇文章。

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今天一早起来，兴致勃勃地发表着日志，却发现评论用不了了，侧边栏也故障了。
如图：

紧接着，尝试更新缓存、重新安装、换空间，都无法解决。

于是只好到官方网站求助，谁知道发现，只要删除cookies就好了（真冤枉，害我丢失了数据）

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这是我研究级数求和的时候的一个猜测，现在已经发现为正确的。

存在级数$\sum_{x=1}^{\infty} f(x)$，若有

$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx -> \infty $，则该级数发散。

如果$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx $收敛，则该级数收敛。

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花式自然语言处理

这是前两天在华南师范大学进行交流的时候所用的slide，主要介绍了自然语言处理的一些技巧。

这个slide的出发点是：国内高校很多搞NLP的小组基本都停留在RNN的思维中，所以我介绍了CNN、Attention的一些内容，并且介绍了模型训练的一些技巧，等等。内容其实比较简短，但考虑到不少概念对于多数同学来说都是新的，因此信息量还是蛮大的。

这也是我第一次尝试用$\LaTeX$来做slide，感觉也没有想象中那么难，做出来的效果还是挺清新明了的，以后要多练习～

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昨天看到数学研发论坛在讨论三维三阶幻方，论坛里的各大牛都已经讨论得差不多了，我也没什么好插话的。然后突发奇想，能不能用纯LaTeX画出一个这样的立体幻方出来？

昨天下午折腾了好一会儿，最后只抛出了个半成品，然后经过论坛的mathe大佬继续完善后，终于成功地画出来了：
$$\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & 4 & —& —& — & — & 25 & —& —& — & — & 11
\\
& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|
\\
& & 14 & — & — & —& — & 22 & — & — & — & —& 7 & & |
\\
& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\
24 & — & —& —& — & 1 & —& —& — & — & 18 & & | & & |\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & &\color{red}{13} &| & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &\color{red}{27} & | & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&5\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & | & & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\
|& & \color{red}{8} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \color{red}{12} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&22&&|\\
|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | &&|\\
15 & — & —& —& — & 3 & — & — & —& —& 21 & & | & &|\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & & \color{red}{9} &| &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \color{red}{26} &|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&6\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & &| & &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\
|& &\color{red}{16} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& \color{red}{8} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&17\\
|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& & & &|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\
23 & — & — & — & — & 2 & — & — & — & — & 19\\
\end{array}$$

事实上代码里边还内嵌了一些HTML代码，所以不算是严格的纯LaTeX代码，应该说是LaTeX+MathJax的结合。

氯化氢（HCl），一种无色气体，当它溶于水后变成为了我们常用的盐酸（hydrochloric acid），学名“氢氯酸”。这是一种具有高强度腐蚀性的无机酸，在工业上具有重要的用途。我们胃中的酸也是胃酸。气态的HCl被称为海洋酸性气体。

盐酸是一种一元酸，在水中会发生以下反应：
$$HCl + H_2O=H_3O^+ + Cl^-$$

因此，盐酸可以用来制作其他氯化物（如NaCl）。盐酸是一种强酸，它在水中基本上能够完全解离。

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翻译语录：总的来说，这篇文章的翻译还是比较顺利，不懂的词查一下软件就OK，所以这次要说一下翻译以外的问题：众所周知，二氧化碳会造成温室效应，而二氧化硫能够抑制温室效应。不过糟糕的是，几乎所有大气环境治理手段都将把其它污染性气体转变成二氧化碳为目标，包括处理二氧化硫。这就造成了约治理环境，温室效应越强的问题。这时我们的环境学家也应考虑下两者的均衡问题了。

图片说明：俄罗斯Kamtchatka火山爆发

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