为了计算实际问题,我们总会采用各种各样的理想模型。一般而言,一个模型越接近实际现象,它往往会越复杂。而忽略掉多数微小的干扰,只保留一些主要的项,这通常可以得到一个相当简单、能够精确解出的模型。以这样的一个可以精确解出的近似模型为基础,逐渐地把微小项的影响添加进去,使得我们的答案越来越准确,这就是摄动法的思想,也称作“微扰理论”。这种方法源于求解天体力学的N体问题,而现在已经发展成为一门相当系统的学科,并应用到了相对多的领域,如量子力学、电子理论等。

其实不难发现,实际问题中存在不少这样的例子,即当我们要计算某个现象时,先考虑最突出的,然后再考虑细节。比如说,要计算地球的轨道,先把它看成一个与太阳组成的纯粹的二体系统,然后把各种微小效应加进去,比如月球的影响、各大行星的影响甚至由于地球的不规则形状所产生的影响等。当然,不仅仅是这一类复杂的“大问题”,我们平常可能会遇到的一些“小问题”有可能也让摄动法派上用场。本文试图将摄动法介绍给各位读者。

摄动法的主要步骤是先忽略微小影响(令小参数为0),求出精确解;然后把所要求的解表达为关于小参数的幂级数。这个方法可以用于解答代数方程、微分方程等等各种领域。下面先以一个简单的代数方程来说明:

一、求解方程:εx3+x2=p2

这是个简单的例子,它本身也存在精确解。但是由于一般的三次方程求根公式只具有理论分析的作用,因此从实用角度出发必须另外寻找更有效的方法。如果ε是一个小量,那就可以先忽略这一项,求解x2=p2,得到x=±p,不失一般性,我们以x=p为基础。假设精确解为
x=p+a1ε+a2ε2+a3ε3+...

代入展开:
ε(p+a1ε+a2ε2+...)3+(p+a1ε+a2ε2+...)2=p2ε[p3+3a1p2ε+3(a21p+a2p2)ε2+...]+[p2+2a1pε+(a21+2a2p)ε2+...]=p2

如果只考虑精确到ε2,那么就有
(p3ε+3a1p2ε2)+[p2+2a1pε+(a21+2a2p)ε2]=p2(p3+2a1p)ε+(3a1p2+a21+2a2p)ε2=0

只要每项的系数为零即可,所以有
p3+2a1p=03a1p2+a21+2a2p=0

解得:
a1=p22a2=5p38

综上,εx3+x2=p2的近似解为x=pp22ε+5p38ε2。可以看出,要使它效果比较好,还需要有比较小的p值。虽然这个级数不一定收敛,但是无论如何,对于数值计算来说,它是一个很不错的近似。比如对于0.1x3+x2=1,它给出x=0.95625,而精确解为0.9554...。

摄动法只是一个思想,它可以应用到数学物理的各个领域。事实上,在量子力学中,几乎所有的问题都是很复杂而无法精确求解的,而摄动法以及变分法则是量子力学中两种最基本、有效的近似方法,可见摄动法的重要意义。在接下来的文章里,我们企图探索摄动法在解微分方程中的应用。

转载到请包括本文地址:https://spaces.ac.cn/archives/1878

更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!

如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (Jan. 16, 2013). 《轻微的扰动——摄动法简介(1) 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1878

@online{kexuefm-1878,
        title={轻微的扰动——摄动法简介(1)},
        author={苏剑林},
        year={2013},
        month={Jan},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/1878}},
}