八月一号开始我们这里的高三就正式开学了，以后每周都只能在星期天中午到下午的一小段时间里跟读者们见见面了^_^
高三的生活的确很枯燥、烦闷，特别是老师那句重复了无数遍的话“这个知识点在高考是这样出题的...”让我感觉十分讨厌，难道，学习就为了高考？就算真的是难以改变的现状，我也偏不服从。高考是要准备的，“活”也是要“生”的，为了生活而生存，而不是为了生存而生活。
虽然很忙，但我还是会抽一些时间出来研究自己感兴趣的东西的，如研究一下几何、不等式、多项式、对称等等，还有发一下呆^_^，当然也尽可能抽一些时间来这里写写我的学习心得吧——当然，频率应该会很低。
我相信，一年之后我不会后悔的。
13
Jan
混沌的世界——“星之轨迹”的研究
By 苏剑林 | 2012-01-13 | 38832位读者 | 引用（本文已被刊登在2012年1月的《天文爱好者》上，于笔者而言这是一份很棒的新年礼物！）
在去年第七期《天爱》上，我们看到了N体问题所呈现出来的一些对称、漂亮的周期轨道，这体现了N体问题和谐有序的一面。但是这仅仅是N体问题的冰山一角，笔者也提到过N体问题的本质是混沌、无序的，通俗来讲就是非常乱，无法用数学方程来精确描述。这看起来是一种不完美。但试想，探索当初伽利略将望远镜对准月球后，看到的是如想象中光滑的月面，那么他还会惊叹宇宙的神奇吗？
本文就让我们来更深入地了解一下N体问题的研究历史。
观测&拟合时代
由于人类的自我优越感以及日月星辰东升西落的经验，让我们长期都认为地球是宇宙的中心。第一个比较系统提出地心说的人当属天文学家欧多克斯（Eudoxus，死于公元前347年左右），但他的地心说是非常粗糙的，以至于无法解释很多基本现象，如无法准确预言日食和解释行星逆行等。但亚里士多德接受了地心说，并且由于他在政治和科学上的权威，使地心说免去了夭折的命运。后来托勒密通过他的本轮，完善了地心说，使之延续到了16世纪。
30
Apr
引力透镜——用经典力学推导光的偏转公式
By 苏剑林 | 2012-04-30 | 62779位读者 | 引用引力透镜
————用经典力学推导光的引力偏转角公式
引力透镜效应造成的爱因斯坦十字
在2012年第四期的《天文爱好者》上，Richard de Grijs（何锐思）教授的《引力透镜——再领科学潮》一文详细而精彩地讲述了有关引力透镜方面的知识，尤其是它在天文方面的重要应用，让我收获颇丰。笔者在赞叹作者优美的文笔和译者程思浩同好的生动翻译之余，也感到了一丝不足。文章主要讲了引力透镜在天文研究中所扮演的重要角色，却未对引力透镜的原理、本质方面多加描述。时空的扭曲是广义相对论给出的答案，可是难道仅仅从经典力学就不能领略丝毫？藉此，BoJone这在里对引力透镜多说些东西，与大家相互学习研究。当然，由于我只是一个初出茅庐的业余爱好者，其中的不当之处还望各位斧正。
6
Jul
椭圆内的一根定长弦（化圆法）
By 苏剑林 | 2012-07-06 | 31002位读者 | 引用在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中，我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题，那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线，但把同样的问题延伸到椭圆上，却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起，不像抛物线方程那样可以容易分离开来（指的是分离成$y=f(x)$的形式）。BoJone尝试了若干种方法，还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”，终得轨迹方程。
椭圆内的定长弦1
所谓化圆法，就是将椭圆通过拉伸变成一个圆，利用圆的性质来解决一些问题。众所周知，相比椭圆，圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时，所总结出来的一种方法。有时候，把椭圆拉伸为圆后，结论就相当显然了；同时，圆作为一个特殊的椭圆，椭圆的一般结论，放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题，不妨先研究它的特例——圆问题；另一方面，利用圆的对称性等等，也可以大幅度地减少计算量，所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是，它居然在求本文的轨迹时派上用场了。
高斯说过“数学是科学的皇后，而算术则是数学的女王。”这里的“算术”，其实就是我们现在所说的数论。从很小的时候开始，我便对数论情有独钟。虽然后来接触了很多更为有趣的数学分支，但是对数学的热情依然不减。我想，这大概是因为小时候的情结吧。小学时候，小小年纪的我，刚刚学完素数、合数、约数、整除等等概念，对数字尤其有兴趣。我想，在那时候我唯一能够读懂的数学难题只有数论这一领域吧。比如费马大定理，$x^n+y^n=z^n$，对于n大于2没有正整数解，很容易就知道它在讲什么；再比如，哥德巴赫猜想，每个大于4的偶数都可以分拆成两个奇素数之和，也很简单就弄懂它讲的是什么。所以，小小的我看懂了这些问题后就饶有兴致地摆弄数字啦，也许正因为如此，才让我对数字乃至对数学都有深厚的爱。
哥德巴赫猜想，无疑是数论中的一个璀璨明珠，可是目前来讲，它还是可望不可即的。一个看似如此简单的猜想，却困惑了数学家几百年，至今无人能解。尽管如此，我还是愿意细细地研究它，慢慢地品味它，在“论证”、或者说验算它的时候，欣赏到数学那神秘的美妙。本文主要就是研究给定偶数的“哥德巴赫分拆数”，即通过实际验算得出每个偶数分拆为两个素数之和的不同分拆方式的数目，比如6=3+3，只有一种分拆方式；8=3+5=5+3；有两种分拆方式；10=3+7=5+5=7+3，有三种分拆方式；等等。偶数2n的分拆数记为$G_2 (2n)$。
（这里定义的“分拆数”跟网上以及一般文献中的定义不同，这里把3+5和5+3看成是两种分拆方式，而网上一般的定义是只看成一种。我这里的定义的好处在于分拆方式的数目实际表示了分拆中涉及到的所有素数的个数。）
哥德巴赫猜想很难，这话没错，但是事实上哥德巴赫猜想是一个非常弱的命题。它说“每个大于4的偶数至少可以分拆成两个奇素数之和”,用上面的术语来说，就是每个偶数的“哥德巴赫分拆数”大于或等于1。可是经过实际验算发现，偶数越大，它的哥德巴赫分拆数越大，两者整体上是呈正相关关系的，比如$G_2 (100)=12,G_2 (1000)=56,G_2 (10000)=254$......所以，从强弱程度上来讲，这和“少于n的素数至少有一个”是差不多的（当然，难度有天壤之别）。
16
Oct
相对论和量子力学的初探
By 苏剑林 | 2012-10-16 | 34067位读者 | 引用=====大学学习=====
上大学已经一个多月了，除去军训的两周和国庆放假的一周，到现在已经是第三周上课了。我是数学专业的，由于是那个勷勤创新班，它希望我们都向研究型数学的方向发展，所以给我们“更多的自由研究时间”，所以课程比一般的班还少一点。由于高中已经对高等数学有个大概的了解，所以一开始让很多同学都喊苦的数学分析、解析几何于我而言都还是比较容易接受的。但从另外一个角度上来讲，我感觉我学得快的原因，倒不全是以前的积累，而是因为个人的学习方式。我不喜欢跟着老师的步伐走，我喜欢而且需要深入地思考和理解一个问题，希冀达到一理通百理明的效果，而不是做完一题紧接着下一题。因为我认为这种竞赛式的学习不能给我们带来实质性的进步，而且有可能抹杀了我们的创造力。
1979年爱因斯坦邮票
没有应用的数学是很枯燥乏味的，数学不能脱离物理、化学等领域。当然“应用”这个词有很广泛的意思，它不一定在实际生活中起到了立竿见影的作用，而是所有在非数学领域中体现了数学之美的例子都可以叫做数学应用，或者有趣的数学。所以，在经历了一两周纯粹地研究数学之后，我感觉我不能再这样下去了，与其零散地涉猎各个方面的知识，倒不如现在开始就系统地学习一些学科以外的科学知识。于是，我决定重拾高中还没有完成的事情——学习相对论和量子力学——所谓现代物理的两大支柱。
11
Dec
薛定谔方程的启发式推导
By 苏剑林 | 2012-12-11 | 68193位读者 | 引用===聊聊天===
上个月在网上买了三本相对论教材和一本《量子力学概论》，本打算好好研究下相对论的数学体系，可是书到了之后，我却深深地被量子力学吸引住了，不停在研读。而且在研究量子力学的同时，我的线性代数和微分方程知识也增加了不少，这确实是我没有想到的。在我看来，不管是狭义相对论还是广义相对论，它本质上都是一种几何理论，你总要想象从一个参考系观测会发生什么，然后从另外一个参考系又会看到什么；而量子力学虽然对我来讲一切都是新鲜的，但是它的数学性比较强，主要是微分方程的求解和理解。我想这也是我对量子力学更感兴趣的原因吧，因为我善于代数而不善于几何。
量子力学中让我最神往的内容莫过于费曼所发明的路径积分形式。资料记载费曼用他发明的方法在一个晚上就算出了别人几个月才算出来的结果，可见路径积分形式的优越性。当然，我也清楚，这个路径积分并不简单，它涉及到了泛函积分这一非常高深的内容，对于我这个连数学分析都还没有学好的小孩来说，泛函是难以触摸的。不过，我还是尽量想办法向它靠近。为此，我还浏览到了一些不少让人兴奋的内容，比如薛定谔的方程的推导、力学-光学类比、雅可比方程等等。
很遗憾，在正统的量子力学教材中，这些让我很兴奋的内容却鲜有涉及，有的话大多数都是一笔带过的感觉。多数量子力学不会讲到路径积分，就算有也只是作为附录。对于薛定谔方程的推导，也没有涉及到。这也让我养成了一个习惯意识：书本最有趣的东西往往都是在附录。所以对于教科书，那么写得正正式式的内容我一概没有兴趣，那些附录内容才是我最喜欢读的。可是，那些让人兴奋的内容却不一定是很难的，就像下面的薛定谔方程的启发式推导，它不仅不难，而且易于理解。
===薛定谔方程===
在量子力学诞生之前，科学家已经通过实验发现光既有波动性也有粒子性，而德布罗意提出也同时具有波动性和粒子性，这些都奠定了量子力学的基础。根据量子论，一个光子的能量可以由$E=h\nu=\hbar (2\pi \nu)$，其中$\nu$是频率，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，h是普朗克常数，习惯记$\omega=2\pi \nu$，即$E=\hbar \omega$。
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