包含关键字二次形的文章 - 科学空间|Scientific Spaces

寒假一个很大的目标就是能够在三体问题的周期轨道上有点突破，于是就出动了“向量”、“复分析”、“微分方程”等理论“核武”，遗憾的是，“有心栽花花不开”，到今天还是没有多少进展。不过俗语也说“无心插柳柳成荫”，也不错。今天回看《天体力学引论》中的“圆形限制性三体问题”，经过一番思考，利用这些天的思考方法重新推导出了其运动方程和能量积分，也算是“意外收获”在此作为春节礼物与大家分享。

平面圆形限制性三体问题

所谓“圆形限制性三体问题”，就是指两个大质量天体（质点）在它们相互引力作用下做圆周运动，假设第三天体（质量趋于0）只受到这两个天体的引力作用而不影响两个天体运行的一种运动情况。由于普通三体问题无法积分，而这个“限制性模型”能够把问题化简不少（不过还是不能积分出来的），因此也得到了一定应用。它的应用条件是：第三体质量小（如当前航天器与地球、太阳）、短程。注意短程也是相当重要的条件之一，注意短程也是相当重要的条件之一，质量越小应用范围越大。要是质量大的话，就不能计算太长的路程。

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分类：天文探索标签：积分, 复数, 三体问题, 限制阅读全文抢沙发

30 Apr

蘑菇的最优形状模型

By 苏剑林 | 2011-04-30 | 44574位读者 | 引用

淡白口蘑

达尔文的进化学说告诉我们，自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种，赋予它们更高的生存几率，久而久之，这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”，进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑，经过长期的选择，优良的形状会被累积下来，换句话讲，这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态（又是一个极值问题了）。好，现在我们来考虑蘑菇。

蘑菇是一种真菌生物，一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分，因此，它努力地调整自身的形状，使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的，那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题，理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢？聪明的你是否想到了是一个球体（的一部分）呢？

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分类：数学研究,生物自然标签：模型, 自然, 最优, 变分, 进化阅读全文 7 评论

19 Jul

一道整数边三角形题目

By 苏剑林 | 2011-07-19 | 20968位读者 | 引用

这是一道来自“数联天地”的题目：

三边长均为整数的三角形，周长为1000，其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目，但实际上这是一道初等数论题，而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到，在这里和大家探讨一番。话说回来，其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的，在小学和初中，经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后，兴趣逐渐转向了实用性较强的数学，因而数论内容的水平不高，大家见笑了。

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分类：数学研究,问题百科标签：方程, 数论, 不定方程, 整数阅读全文 1 评论

21 Aug

有理直角三角形的面积能否为整数？

By 苏剑林 | 2011-08-21 | 36971位读者 | 引用

这是一个古老而有趣的问题，但在引入这个问题之前，我们首先来看一个简单的问题：

整数边直角三角形的面积能否为一个完全平方数？

答案是不能。我们可以举一些例子来检验一下，例如边长为3,4,5的直角三角形面积为6，6不是一个平方数；再如边长为5,12,13的直角三角形面积为30，30也不是一个平方数...当然，数学的最近目的是要求严格证明，而不是简单举例，否则就只得称为不完全归纳，这样得出来的是一个猜想，而不是“定理”，就好象著名的“哥德巴赫猜想”...本文我们将试图证明这个命题。

我们稍后还会发现，这个问题和以下问题是等价的：
是否存在一个面积为1的三边长都是有理数的直角三角形？

更让人意外的是，这个问题也等价于方程$x^4+y^4=z^4$并没有整数解，换句话说，我们要证明n=4时的“费马大定理”！

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分类：数学研究标签：素数, 质数, 猜想, 整数, 有理数阅读全文 5 评论

29 Aug