带点电荷的均匀杆
By 苏剑林 | 2014-02-16 | 37331位读者 |在讨论了倒立单摆的相关分析之后,胡雄大哥(笔者的一位好友)提出了一个问题:一根均匀杆,当然质量不可忽略,只有一个力(简单起见,可以先假设为恒力)作用在其中一个点上(简单起见,可以假设为端点),那么杆是怎么运动的?
其实笔者学了不少的经典力学,也分析了不少问题,但就是对于力矩、角动量等还是模模糊糊的,对于我来说,大多数经典力学问题就是“作用量+变分”,本题也不例外。为了让题目的实验意义更加明确,不妨将题目改成:
一根中性的均匀杆,它的一个端点带有一个点电荷,那么它(仅仅)在一个均匀电场中的运动是怎样的?
在这里,我们进一步简化,只考虑平面问题。杆属于刚体,为了描述杆的运动,我们需要描述杆上一点的运动,以及杆绕这一点的转动,也就是说,即使只考虑平面的情况,该系统也是有三个自由度的。设杆的带电荷那一端点的坐标为(x,y),为了描述杆的转动,以这一端点为中心建立极坐标系,设杆的极角为θ。设电势的函数为U(x,y),因为只有一点带电(受力),因此势能是简单的。
运动方程
但是同时存在转动和平动,动能稍微复杂一点。设杆的线密度是ρ,长度是R,质量为m=ρR,那么杆上到端点的距离为r那一点的坐标(相对于一个惯性系)为
(X,Y)=(x,y)+(rcosθ,rsinθ)
其速度就是
(˙X,˙Y)=(˙x−rsinθ˙θ,˙y+rcosθ˙θ)
动能就是积分
Ek=∫R012(˙X2+˙Y2)ρdr=∫R012(˙x2+˙y2+r2˙θ2+2r˙θ˙ycosθ−2r˙θ˙xsinθ)ρdr=12ρR(˙x2+˙y2+13R2˙θ2+R˙θ˙ycosθ−R˙θ˙xsinθ)=12m(˙x2+˙y2+13R2˙θ2+R˙θ˙ycosθ−R˙θ˙xsinθ)
虽然有点复杂,但是现在可以写出作用量了:
S=∫[12m(˙x2+˙y2+13R2˙θ2+R˙θ˙ycosθ−R˙θ˙xsinθ)−U(x,y)]dt
变分它,也就是代入欧拉-拉格朗日方程,分别得到
mddt(˙x−12R˙θsinθ)=−∂U∂xmddt(˙y+12R˙θcosθ)=−∂U∂ymddt(13R2˙θ+12R˙ycosθ−12R˙xsinθ)=−12mR˙θ˙ysinθ−12mR˙θ˙xcosθ
即使没有最小作用量原理,我们也很容易列出前两道方程,它只不过是说:作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度。说白了,就是如果讨论质心的运动时,系统就相当于一个质点而已。因此,考虑力有可能不是保守力,因此最一般的方程应该写成
mddt(˙x−12R˙θsinθ)=Fxmddt(˙y+12R˙θcosθ)=Fy
比较难列出的是关于˙θ的方程,请可以给出力学分析解释的朋友不吝告知,十分感谢。如果把¨x和¨y的表达式代入到关于˙θ的表达式之中,会得到物理意义相对明显一些的结果
13mR2¨θ+12mR(−12R¨θcosθ+12R˙θ2sinθ+Fym)cosθ−12mR(12R¨θsinθ+12R˙θ2cosθ+Fxm)sinθ=0
即
16mR¨θ+Fycosθ−Fxsinθ=0
看上去物理意义很明显,但我还是找不到比较准确的物理解释,望各位指教。
至此,我们完成了第一步工作,即列出运动方程。
恒力
如果力F=(Fx,Fy)是恒力,那么总可以选择适当的坐标系,使得其中一个分量为0,不妨假设Fy=0,那么
mddt(˙x−12R˙θsinθ)=Fxmddt(˙y+12R˙θcosθ)=016mR¨θ−Fxsinθ=0
其中前两道方程是容易积分的
x+12Rcosθ=Fx2mt2+C1t+C2y+12Rsinθ=C3t+C4
这说明质心的运动类似于平抛。
第三道16mR¨θ−Fxsinθ=0类似于单摆的方程,当Fx为正时,相当于倒立的单摆;Fx为负时,就相当于一般的单摆。为作简单演示,不妨假设初始的θ很小,且Fx<0,这样近似解得
θ=C5cosωt+C6sinωt,ω=√−6FxmR
取其中一个特例,绘制其运动动画近似如下:
(受力点为左边端点,力为恒力,方向水平向左,初速度为0。)
(受力点为左边端点,力为恒力,方向水平向左,带有一个竖直向下的初速度。)
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October 8th, 2014
感觉这个杆以中心为原点以固定频率转回来转回去。杆中心沿直线作加速运动
在小角度的近似下确实是这样子的,但是角度大了差别就明显了。这跟将单摆运动看成简谐运动是一样道理。
October 11th, 2014
初始角度大了,用数值积分发现角度还是随时间固定频率变动,质心不是水平运动了,不过不太好画图了。你画一下质心的轨迹曲线
你测试一下对于同样的角度,数值积分能够得到单摆的非简谐性么?
质心的运动跟平抛一样呀,上面方程已经表明了。
August 3rd, 2015
EK表达式多了一个二次方。
哈哈,没你考虑的多,列式还考虑物理意义。