在讨论了倒立单摆的相关分析之后,胡雄大哥(笔者的一位好友)提出了一个问题:一根均匀杆,当然质量不可忽略,只有一个力(简单起见,可以先假设为恒力)作用在其中一个点上(简单起见,可以假设为端点),那么杆是怎么运动的?

其实笔者学了不少的经典力学,也分析了不少问题,但就是对于力矩、角动量等还是模模糊糊的,对于我来说,大多数经典力学问题就是“作用量+变分”,本题也不例外。为了让题目的实验意义更加明确,不妨将题目改成:

一根中性的均匀杆,它的一个端点带有一个点电荷,那么它(仅仅)在一个均匀电场中的运动是怎样的?

在这里,我们进一步简化,只考虑平面问题。杆属于刚体,为了描述杆的运动,我们需要描述杆上一点的运动,以及杆绕这一点的转动,也就是说,即使只考虑平面的情况,该系统也是有三个自由度的。设杆的带电荷那一端点的坐标为(x,y),为了描述杆的转动,以这一端点为中心建立极坐标系,设杆的极角为θ。设电势的函数为U(x,y),因为只有一点带电(受力),因此势能是简单的。

运动方程

但是同时存在转动和平动,动能稍微复杂一点。设杆的线密度是ρ,长度是R,质量为m=ρR,那么杆上到端点的距离为r那一点的坐标(相对于一个惯性系)为
(X,Y)=(x,y)+(rcosθ,rsinθ)


其速度就是
(˙X,˙Y)=(˙xrsinθ˙θ,˙y+rcosθ˙θ)

动能就是积分
Ek=R012(˙X2+˙Y2)ρdr=R012(˙x2+˙y2+r2˙θ2+2r˙θ˙ycosθ2r˙θ˙xsinθ)ρdr=12ρR(˙x2+˙y2+13R2˙θ2+R˙θ˙ycosθR˙θ˙xsinθ)=12m(˙x2+˙y2+13R2˙θ2+R˙θ˙ycosθR˙θ˙xsinθ)

虽然有点复杂,但是现在可以写出作用量了:
S=[12m(˙x2+˙y2+13R2˙θ2+R˙θ˙ycosθR˙θ˙xsinθ)U(x,y)]dt

变分它,也就是代入欧拉-拉格朗日方程,分别得到
mddt(˙x12R˙θsinθ)=Uxmddt(˙y+12R˙θcosθ)=Uymddt(13R2˙θ+12R˙ycosθ12R˙xsinθ)=12mR˙θ˙ysinθ12mR˙θ˙xcosθ

即使没有最小作用量原理,我们也很容易列出前两道方程,它只不过是说:作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度。说白了,就是如果讨论质心的运动时,系统就相当于一个质点而已。因此,考虑力有可能不是保守力,因此最一般的方程应该写成
mddt(˙x12R˙θsinθ)=Fxmddt(˙y+12R˙θcosθ)=Fy

比较难列出的是关于˙θ的方程,请可以给出力学分析解释的朋友不吝告知,十分感谢。如果把¨x¨y的表达式代入到关于˙θ的表达式之中,会得到物理意义相对明显一些的结果
13mR2¨θ+12mR(12R¨θcosθ+12R˙θ2sinθ+Fym)cosθ12mR(12R¨θsinθ+12R˙θ2cosθ+Fxm)sinθ=0



16mR¨θ+FycosθFxsinθ=0

看上去物理意义很明显,但我还是找不到比较准确的物理解释,望各位指教。
至此,我们完成了第一步工作,即列出运动方程。

恒力
如果力F=(Fx,Fy)是恒力,那么总可以选择适当的坐标系,使得其中一个分量为0,不妨假设Fy=0,那么
mddt(˙x12R˙θsinθ)=Fxmddt(˙y+12R˙θcosθ)=016mR¨θFxsinθ=0


其中前两道方程是容易积分的
x+12Rcosθ=Fx2mt2+C1t+C2y+12Rsinθ=C3t+C4

这说明质心的运动类似于平抛。

第三道16mR¨θFxsinθ=0类似于单摆的方程,当Fx为正时,相当于倒立的单摆;Fx为负时,就相当于一般的单摆。为作简单演示,不妨假设初始的θ很小,且Fx<0,这样近似解得
θ=C5cosωt+C6sinωt,ω=6FxmR

取其中一个特例,绘制其运动动画近似如下:

带点电荷的均匀杆

带点电荷的均匀杆

(受力点为左边端点,力为恒力,方向水平向左,初速度为0。)

带点电荷的均匀杆2

带点电荷的均匀杆2

(受力点为左边端点,力为恒力,方向水平向左,带有一个竖直向下的初速度。)

转载到请包括本文地址:https://spaces.ac.cn/archives/2362

更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!

如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (Feb. 16, 2014). 《带点电荷的均匀杆 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/2362

@online{kexuefm-2362,
        title={带点电荷的均匀杆},
        author={苏剑林},
        year={2014},
        month={Feb},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/2362}},
}