前几天做到了一道不等式题目,求2a-b的值域。其中
$$1 < a + b < 2\tag{1}$$$$-2 < a - b < -1\tag{2}$$
老师很高兴地把两式左右两边加起来,得到$-1<2a<1$;然后把第二式乘以(-1),得到$1 < b - a < 2$,然后再与(1)相加,得到$2 < 2 b< 4 \Rightarrow 1 < b < 2$;接着把这式子乘上(-1),然后与$-1<2a<1$相加。于是结果很显然,$-3<2a-b<0$。读者们,你们觉得这做法有问题吗?

首先,老师的做法是严谨但不严密的,所得结果也没有错误。但是我们可以发现,我们无论如何也举不出$2a-b=-2.99$的例子。这说明这个范围是变大了。为什么呢?先举一个很简单的例子:
$$\begin{aligned} 1 < a < 2 \\ 1 < a < 3\end{aligned}$$
如果两式相加,就会得到$1 < a < 2.5$,很显然,这个结果把第一式的范围给扩大了,所以这种做法是不可取的。

那么要怎样做才能够严密呢?回到开始的题目。设a+b=x,a-b=y,那么就有
$$\begin{aligned}1 < x < 2 \\ -2 < y < -1 \end{aligned}$$
并且解方程
$$\begin{aligned}a+b=x \\ a-b=y\end{aligned}$$
得$a=\frac{x+y}{2},b=\frac{x-y}{2}\Rightarrow 2a-b=\frac{x+3y}{2}$
很容易看出,x,y越大(越小),该式就越大(越小)。取$y=1,x=2$代入作为最大值,以$x=1 , y= -2$代入作为最小值。所以$(2a-b) \in (-5/2,-1/2)$。现在可以知道,$ -3 < 2a - b < 0$答案是扩大了的!

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苏剑林. (2010, May 02). 《解答不等式的误区... 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/644