勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理

实变函数中有一个勒贝格控制收敛定理，一般认为它是判断积分和取极限可交换的很好用的方法。勒贝格控制收敛定理是说，如果定义在集合$E$上的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$满足$|f_n(x)|\leq F(x)$，而$F(x)$在$E$上可积，那么积分和取极限就可以交换，即
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_E f_n (x)dx\right)=\int_E \left(\lim_{n\to\infty}f_n (x)\right)dx$$
本文不打算谈该定理的证明，只是谈谈该定理的应用相关的话题。首先，请有兴趣的读者，做做以下题目：
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$
前两天我把题目发在QQ上面，以及问了问我身边的同学，回应的人比较少，但还是有几位朋友尝试了一下，得到的结果是：学了实变的同学基本上不会做这道题，没学实变、只学了基本的微积分的同学，基本上都做出来了。

这道题的做法很简单，直接把积分求出来，得到$\frac{1}{2}\arctan(n^2)$，然后取极限得到$\frac{\pi}{4}$。如果学了实变的同学，拼命去想控制函数，那么必然碰了一鼻子灰。任何想要交换极限和积分的尝试都是失败的，因为这个积分和取极限不可交换！因此我们是否要反思一下，为什么多学了实变的朋友（尤其是刚学的），反而做不出来？因为他们就只想着控制收敛定理（或者其他相关的定理），就不会尝试最原始的方法——把算出来。学多了东西，但又太拘泥于形式，拘泥于教科书，这岂不是多学无益？

由这个控制收敛定理引伸出来的，还有一个话题，那就是控制函数究竟好不好找（当然，这个问题是在控制函数存在的前提下讨论的）。首先，就一般的函数而言，控制函数肯定是相当难找的。但是，就我们书本或者考试上遇到的题目，如果都觉得控制函数难找，那么我觉得最有可能是学艺不精。我们上实变时，老师说过控制函数难找，但是他举的例子都太弱，根本就不能说明这一点。如果有同学听了老师这句话，就把这句话传播出来了，我觉得就不大好了。下面是一个是老师认为比较难找控制函数的例子（需要猜测，然后分段证明），而事实上这类情况都可以用直接统一的方法得到控制函数。
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^3 x}{1+n^4 x^2}dx\right)$$

书本上是用分段讨论的，事实上，只需要利用算术-几何平均不等式，就可以找出构造函数：
$$\begin{aligned}1+n^4 x^2&=1+\frac{1}{3}n^4 x^2+\frac{1}{3}n^4 x^2+\frac{1}{3}n^4 x^2\\
&\geq 4\sqrt[4]{1\times\frac{1}{3}n^4 x^2\times\frac{1}{3}n^4 x^2\times\frac{1}{3}n^4 x^2}\\
&=4\sqrt[4]{\frac{1}{27}}n^3 x^{3/2}\geq n^3 x^{3/2}\end{aligned}$$
所以
$$\frac{n^3 x}{1+n^4 x^2}\leq \frac{n^3 x}{n^3 x^{3/2}} = x^{-1/2}$$
而$x^{-1/2}$在$(0,1)$上可积。从而找到控制函数了。

该方法就是把分母拆分，然后可以用算术-几何平均不等式做成我们想要的形式了。至于怎么拆，为什么要这样拆，其实很容易发现规律，读者应该自己去发现它。而在我们遇到的一些练习题中，比较“难”的，都属于这个类型的，都可以用统一的方法处理。而如果是文章开始的题目
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$
用算术-几何平均不等式的技巧，是无法成功的。也就是说，好像这类题目，无法用均值不等式做出来，就等价于找不到控制函数？（指的是分母是多项式这个类型的~）这当然是无法普遍成立的，但好像有很微妙的关系，需要读者自己感悟了。

读者不妨利用同样的技巧，尝试一下
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{(n x)^s}{1+(nx)^{s+1}}dx\right),\quad s > 0$$

总的来说，本文就是想指出：将学到的东西融汇贯通，形成自己的理解方式，才算是真正学到了东西。不然拘泥于形式、拘泥于老师，那就真的应了那句本不该成立的话：多学无益。

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